2019年高考数学总复习检测第23讲　两角和与差的三角函数 4页

第23讲　两角和与差的三角函数 ‎1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于(D)‎ A．0 B. C. D．1‎ ‎ 原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.‎ ‎2．(2016·广州市综合测试(一))已知f(x)＝sin(x＋)，若sin α＝(<α<π)，则f(α＋)＝(B)‎ A．－ B．－ C. D. ‎ 由sin α＝(<α<π)，得cos α＝－.‎ 所以f(α＋)＝sin(α＋＋)＝sin(α＋)＝(sin α＋cos α)＝×(－)＝－.‎ ‎3．(2017·西安三模)已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是(C)‎ A．－ B. C．－ D. ‎ 因为cos(α－)＋sin α＝cos α＋sin α ‎＝sin(α＋)＝，‎ 所以sin(α＋)＝.‎ 所以sin(α＋)＝sin(α＋＋π)＝－.‎ ‎4．(2015·重庆卷)若tan α＝2tan，则＝(C)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎ 因为cos(α－π)＝cos(α＋－)‎ ‎＝sin(α＋)，‎ 所以原式＝＝ ‎＝.‎ 又因为tan α＝2tan，所以原式＝＝3.‎ ‎5．(2017·新课标卷Ⅰ)已知α∈(0，)，tan α＝2，则cos(α－)＝　　.‎ ‎ cos(α－)＝cos αcos＋sin αsin ‎＝(cos α＋sin α)．‎ 又由α∈(0，)，tan α＝2，知sin α＝，cos α＝，‎ 所以cos(α－)＝×(＋)＝.‎ ‎6．(2017·江苏卷)若tan(α－)＝，则tan α＝　　.‎ ‎ (方法一)因为tan(α－)＝＝＝，‎ 所以6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，所以tan α＝.‎ ‎(方法二)tan α＝tan[(α－)＋]‎ ‎＝＝＝.‎ ‎7．已知α是第二象限角，sin α＝，β为第三象限角，tan β＝.‎ ‎(1)求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求cos(2α－β)的值．‎ ‎ (1)因为α是第二象限角，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－，‎ tan α＝＝－，又tan β＝，‎ 所以tan(α＋β)＝＝.‎ ‎(2)因为β为第三象限角，tan β＝，‎ 所以sin β＝－，cos β＝－.‎ 又sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝，‎ 所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝.‎ ‎8．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)某房间的室温T(单位：摄氏度)与时间t(单位：‎ 小时)的函数关系是：T＝asin t＋bcos t，t∈(0，＋∞)，其中a，b是正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a＋b的最大值是(A)‎ A．5 B．10‎ C．10 D．20‎ ‎ 由辅助角公式：T＝asin t＋bcos t＝sin(t＋φ)，其中φ满足条件： sin φ＝，cos φ＝.‎ 则函数T的值域为[－，]，‎ 由室内最大温差为2＝10，得＝5，a2＋b2＝25，‎ 设a＝5cos θ，b＝5sin θ，‎ 则a＋b＝5cos θ＋5sin θ＝5sin(θ＋)，‎ 故a＋b≤5，当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ ‎9．若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)的值为　　.‎ ‎ 由题知cos(x－y)＝，‎ sin 2x＋sin 2y＝sin[(x＋y)＋(x－y)]＋sin[(x＋y)－(x－y)]＝2sin(x＋y)cos(x－y)＝，‎ 所以sin(x＋y)＝.‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.‎ ‎(1)求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求α＋2β的值．　‎ ‎　 由条件得cos α＝，cos β＝.‎ 因为α，β为锐角，所以sin α＝＝，‎ 同理可得sin β＝.所以tan α＝7，tan β＝.‎ ‎(1)tan(α＋β)＝＝－3.‎ ‎(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝ ‎＝＝－1.‎ 因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<，所以α＋2β＝.‎