高考数学复习 17-18版 第9章 热点探究课6 高考中的圆锥曲线问题 18页

热点探究课(六)　高考中的圆锥曲线问题 ‎[命题解读]　圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命题有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高．‎ 热点1　圆锥曲线的标准方程与性质 圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及a，b，c三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．‎ ‎　如图1，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.‎ 图1‎ ‎(1)若PF1＝2＋，PF2＝2－，求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若PF1＝PQ，求椭圆的离心率e. 【导学号：62172279】‎ ‎[解]　(1)由椭圆的定义，‎ ‎2a‎＝PF1＋PF2＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.‎ 设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，‎ 因此2c＝F1F2＝ ‎＝＝2.3分 即c＝，从而b＝＝1，‎ 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.5分 ‎(2)连结F1Q，如图，由椭圆的定义知PF1＋PF2＝‎2a，‎ QF1＋QF2＝‎2a，‎ 又PF1＝PQ＝PF2＋QF2＝(2a－PF1)＋(2a－QF1)，‎ 可得QF1＝4a－2PF1. ①‎ 又因为PF1⊥PQ且PF1＝PQ，‎ 所以QF1＝PF1.　②8分 由①②可得PF1＝(4－2)a，‎ 从而PF2＝2a－PF1＝(2－2)a.‎ 由PF1⊥PF2，知PF＋PF＝F1F，‎ 即(4－2)2a2＋(2－2)2a2＝4c2，12分 可得(9－6)a2＝c2，即＝9－6，‎ 因此e＝＝＝－.14分 ‎[规律方法]　1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用．‎ ‎2．圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确a，b，c中任意两量的关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制．‎ ‎[对点训练1]　已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x2＝4y的焦点．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．‎ ‎[解]　(1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上．‎ 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 因为抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，‎ 所以b＝1.2分 由离心率e＝＝，a2＝b2＋c2＝1＋c2，‎ 从而得a＝，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.6分 ‎(2)由解得所以点A(2,1).8分 因为抛物线的准线方程为y＝－1，‎ 所以圆的半径r＝1－(－1)＝2，‎ 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.14分 热点2　圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．‎ 角度1　圆锥曲线的定值问题 ‎　(2016·北京高考)已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎[解]　(1)由题意得a＝2，b＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.3分 又c＝＝，所以离心率e＝＝.5分 ‎(2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4.‎ 又A(2,0)，B(0,1)，‎ 所以直线PA的方程为y＝(x－2).7分 令x＝0，得yM＝－，从而BM＝1－yM＝1＋.‎ 直线PB的方程为y＝x＋1.9分 令y＝0，得xN＝－，从而AN＝2－xN＝2＋.‎ 所以四边形ABNM的面积S＝AN·BM ‎＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 从而四边形ABNM的面积为定值.14分 ‎[规律方法]　1.求定值问题的常用方法：‎ ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎2．定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方法是非常关键的．‎ 角度2　圆锥曲线中的定点问题 ‎　设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，且过点.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标. 【导学号：62172280】‎ ‎[解]　(1)由e2＝＝＝，可得a2＝2b2，2分 椭圆方程为＋＝1，‎ 代入点可得b2＝2，a2＝4，‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.5分 ‎(2)由x－my－t＝0得x＝my＋t，‎ 把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1＋y2＝－，y1y2＝，‎ x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，‎ x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)‎ ‎＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.8分 因为以MN为直径的圆过点A，‎ 所以AM⊥AN，‎ 所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)‎ ‎＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2‎ ‎＝＋2×＋4＋ ‎＝＝＝0.10分 因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，‎ 所以t＝－，直线l的方程是x＝my－，直线l过定点T，‎ 由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，‎ 所以直线l过定点T.14分 ‎[规律方法]　1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．‎ ‎2．从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．‎ ‎[对点训练2]　已知椭圆E：＋＝1，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线l：x＝4(y>0)上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q.‎ ‎(1)若△MAB垂心的纵坐标为－4，求点P的坐标；‎ ‎(2)试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)由题意知A(－2，0)，B(2，0)．‎ 设△MAB的垂心为H，因为AB边上的高所在的直线方程为l：x＝4，且△MAB垂心的纵坐标为－4，所以H(4，－4)．‎ 所以直线BH的斜率为kBH＝＝－，‎ 所以直线AM的方程为y＝()(x＋2)．‎ 由⇒或4分 所以P点的坐标为.6分 ‎(2)设P点的坐标为(x1，y1)，Q点的坐标为(x2，y2)，‎ 则y＝(8－x)，y＝(8－x)，直线AP的方程为y＝(x＋2)．‎ 由⇒M.8分 由于M，B，Q三点共线，所以kBM＝kBQ，从而＝，‎ 即＝，两边平方得 ＝⇒＝⇒＝，‎ 整理得2x1x2－5(x1＋x2)＋16＝0.(*)‎ 设直线PQ的方程为y＝kx＋m.‎ 由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝，代入(*)得m2＋5km＋8k2＝0，‎ 解得m＝－k，或m＝－4k.‎ 当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k，即y＝k(x－)，恒过点(，0)；‎ 当m＝－4k，直线PQ的方程为y＝kx－4k，即y＝k(x－4)，恒过点(4，0)，此种情况不合题意．‎ 综上可知，直线PQ恒过点(，0).16分 热点3　圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．‎ ‎　平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，‎ 则＋＝1，＋＝1，＝－1，‎ 由此可得＝－＝1.‎ 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，‎ 所以a2＝2b2.‎ 又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.‎ 因此a2＝6，b2＝3.‎ 所以M的方程为＋＝1.8分 ‎(2)由解得或 因此AB＝.‎ 由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，‎ 设C(x3，y3)，D(x4，y4)．‎ 由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.‎ 于是x3,4＝.‎ 因为直线CD的斜率为1，‎ 所以CD＝|x4－x3|＝.‎ 由已知，四边形ACBD的面积 S＝CD·AB＝，‎ 当n＝0时，S取得最大值，最大值为，‎ 所以四边形ACBD面积的最大值为.16分 ‎[规律方法]　范围(最值)问题的主要求解方法：‎ ‎(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．‎ ‎(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解．‎ ‎[对点训练3]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点(，－2)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求·的取值范围．‎ ‎[解]　由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4.‎ 得曲线C的焦点F1(0，－2)，F2(0,2).2分 又点(，－2)在椭圆C上，‎ ‎2a‎＝＋＝4，‎ 所以a＝2，b＝2，‎ 即椭圆C的方程是＋＝1.5分 ‎(2)若直线l垂直于x轴，‎ ‎①则点E(0,2)，F(0，－2)，·＝－8.‎ ‎②若直线l不垂直于x轴，‎ 设l的方程为y＝kx＋2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到：‎ ‎(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，8分 所以·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4‎ ‎＝＋＋4＝－8.10分 因为0<≤10，所以－8<·≤2.‎ 综上可知，·的取值范围是[－8,2].14分 热点4　圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)‎ 圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．‎ ‎　(本小题满分16分)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点．‎ ‎(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．‎ ‎[解]　(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).2分 又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，‎ 即x－y－a＝0.4分 y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，‎ 即x＋y＋a＝0.6分 故所求切线方程为x－y－a＝0或x＋y＋a＝0.7分 ‎(2)存在符合题意的点．证明如下：‎ 设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.8分 将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.‎ 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.10分 从而k1＋k2＝＋ ‎＝＝.13分 当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ 故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.16分 ‎[答题模板]　第一步：分别求出曲线y＝在M点，N点处的导数．‎ 第二步：利用点斜式分别写出在M点、N点的切线方程．‎ 第三步：联立直线y＝kx＋a与抛物线y＝，并写出根与系数的关系式．‎ 第四步：由kPM＋kPN＝0，结合根与系数的关系式，探索点P的坐标．‎ 第五步：检验反思，查关键点，规范步骤．‎ ‎[温馨提示]　1.(1)在第(2)问中，不能把条件∠OPM＝∠OPN适当转化为k1＋k2＝0，找不到解题的思路和方法，而不能得分．‎ ‎(2)运算能力差或运算不细心，导致运算结果错误而扣分或者不得分．‎ ‎2．数学阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤．‎ ‎(1)本题的关键点一是利用导数的几何意义求切线方程，二是把条件中转化为只需直线PM，PN的斜率之和为0.‎ ‎(2)解析几何对运算能力要求较高，解题时一定要细心准确，否则可能是思路正确，但是运算结果错误，而不得分．‎ ‎[对点训练4]　如图2，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．‎ 图2‎ ‎[解]　(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．‎ 又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，‎ 于是解得a＝2，b＝.4分 所以椭圆E的方程为＋＝1.5分 ‎(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.8分 其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.‎ 从而，·＋λ· ‎＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]‎ ‎＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1‎ ‎＝＝－－λ－2.‎ 所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.10分 此时，·＋λ·＝－3为定值．‎ 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.‎ 此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3.‎ 故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.14分 热点探究训练(六)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2017·扬州模拟)如图3，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，O为坐标原点，M在PF1上，＝λ(λ∈R)，PO⊥F‎2M.‎ 图3‎ ‎(1)若椭圆方程为＋＝1，P(2，)，求点M的横坐标；‎ ‎(2)若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围. 【导学号：62172281】‎ ‎[解]　(1)∵＋＝1，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，‎ ‎∴kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝.‎ ‎∴直线F2M的方程为y＝－(x－2)，直线F1M的方程为：y＝(x＋2)．‎ 由 解得x＝，‎ ‎∴点M的横坐标为.6分 ‎(2)设P(x0，y0)，M(xM，yM)，‎ ‎∵＝2，∴＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，∴M，＝.‎ ‎∵PO⊥F2M，＝(x0，y0)，∴x0＋y＝0，‎ 即x＋y＝2cx0.‎ 联立方程得，消去y0得：c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0.‎ 解得x0＝或x0＝.‎ ‎∵－a.‎ 综上，椭圆离心率e的取值范围为.14分 ‎2．(2017·无锡期末)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l ：y＝kx＋m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.‎ ‎(1)求椭圆方程和直线方程；‎ ‎(2)试在圆N上求一点P，使＝2.‎ ‎[解]　(1)由题意知解得a＝2，c＝1，所以b＝，‎ 所以椭圆M的方程为：＋＝1.‎ 圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5.‎ 由直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，所以由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①‎ 所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2.②‎ 由直线l：y＝kx＋m与N只有一个公共点，得＝，‎ 即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③‎ 将②代入③得km＝1，④‎ 由②，④且k>0，得：k＝，m＝2.‎ 所以直线方程为：y＝x＋2.6分 ‎(2)将k＝，m＝2代入①可得A，‎ 又过切点B的半径所在的直线l′为：y＝－2x＋2，所以得交点B(0,2)，设P(x，y)，因为＝2，‎ 则＝8，化简得：7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0，⑤‎ 又P(x，y)满足x＋y－2x0＝4，⑥‎ 将⑤－7×⑥得：3x0－2y0＋5＝0，即y0＝.⑦‎ 将⑦代入⑥得：13x＋22x0＋9＝0，解得x0＝－1或x0＝－，‎ 所以P(－1,1)或P.14分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知椭圆Γ：＋y2＝1.‎ ‎(1)椭圆Γ的短轴端点分别为A，B(如图4)，直线AM，BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点M满足m≠0，且m≠±.‎ ‎①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；‎ ‎②若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值．‎ ‎(2)若圆O：x2＋y2＝4.l1，l2是过点P(0，－1)的两条互相垂直的直线，其中l1‎ 交圆O于T，R两点，l2交椭圆Γ于另一点Q.求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程. 【导学号：62172282】‎ 图4‎ ‎[解]　(1)①因为A(0,1)，B(0，－1)，M，且m≠0，∴直线AM的斜率为k1＝－，直线BM的斜率为k2＝，‎ ‎∴直线AM的方程为y＝－x＋1，直线BM的方程为y＝x－1，‎ 由得(m2＋1)x2－4mx＝0，‎ ‎∴x＝0，x＝，∴E，‎ 由得(m2＋9)x2－12mx＝0，‎ ‎∴x＝0或x＝，∴F；‎ 据已知m≠0，m2≠3，‎ ‎∴直线EF的斜率 k＝＝＝－，‎ ‎∴直线EF的方程为y－＝－，‎ 令x＝0，得y＝2，‎ ‎∴EF与y轴交点的位置与m无关．‎ ‎②S△AMF＝MA·MFsin ∠AMF，‎ S△BME＝MB·MEsin ∠BME，∠AMF＝∠BME，‎ ‎5S△AMF＝S△BME，∴5MA·MF＝MB·ME，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵m≠0，‎ ‎∴整理方程得＝－1，即(m2－3)(m2－1)＝0，‎ 又有m≠±，∴m2－3≠0，∴m2＝1，∴m＝±1为所求.8分 ‎(2)因为直线l1⊥l2，且都过点P(0，－1)，所以设直线l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0，‎ 直线l2：y＝－x－1，即x＋ky＋k＝0，‎ 所以圆心(0,0)到直线l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0的距离d＝，‎ 所以直线l1被圆x2＋y2＝4所截的弦 TR＝2＝；‎ 由得k2x2＋4x2＋8kx＝0，‎ 所以xQ＋xp＝－，所以QP＝＝，‎ 所以S△TRQ＝QP·TR＝＝≤＝，‎ 当＝，即k2＝，解得k＝±时等号成立，‎ 此时直线l1：y＝±x－1.16分 ‎2．(2017·苏北四市期末)如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点为A(－4,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.‎ 图5‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为左顶点为A(－4,0)，所以a＝4，‎ 又e＝，所以c＝2，b2＝a2－c2＝12，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)直线l的方程为y＝k(x＋4)，由消元得，＋＝1.‎ 化简得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，所以x1＝－4，x2＝.8分 当x＝时，y＝k＝，所以D.‎ 因为P为AD的中点，‎ 所以P的坐标为，kOP＝－(k≠0)，‎ 直线l的方程为y＝k(x＋4)，令x＝0得E点坐标为(0,4k)，‎ 假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，则kOP·kEQ＝－1，即－·＝－1恒成立，‎ 所以(4m＋12)k－3n＝0恒成立，所以即 所以存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，且定点Q 的坐标为(－3,0).12分 ‎(3)因为OM∥l，所以OM的方程可设为y＝kx，‎ 由得M点的横坐标为x＝±，‎ 由OM∥l，得＝＝ ‎＝＝· ‎＝≥2，‎ 当且仅当＝即k＝±时取等号，‎ 所以当k＝±时，的最小值为2.16分