人教A版选修1-13-2立体几何中的向量方法第4课时（含答案） 5页

§3.2.3 坐标法中解方程组求向量的有关问题 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方 向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一 些问题。我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。 【教学目标】： （1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能 用解方程组的方法求其坐标. （2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。 （3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。 【教学重点】： 解方程组求向量的的坐标. 【教学难点】： 解方程组求向量的的坐标.. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引 入 1． 单位向量，平面的法向量 （1）单位向量－－模为 1 的向量。 （2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。 2． 坐标法。 为探索新知识做准 备. 二、探究与 练习 一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得 出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的 点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之 间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题） 二、例题 例 1：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱长为 1，求证：平面 A1BC1 的法向量为直线 DB1 的方向向量. D1 C1 D' B1 A1 C D A B 分析：（1）建立空间坐标系； （2）用坐标表示向量 （3）设平面 A1BC1 的方向向量为 n=(x,y,z)，由下列关系 让学生通过回顾寻 找将立体几何问题 转化为向量问题的 步骤。 例 1 在建立坐标系 后，比较简单，容 易把握。分析中的 方法是为配合本次 课 的 课 题 而 设 计 的。 11 , BCBA 0,0 11  BCnBAn 列方程组求 x,y,z. （4）证明向量 n// （解略） 思考：有更简单的方法吗？ 向量 与 BA1 、 1BC 的数量积为零即可。 例 2，ABCD 是一个直角梯形，角 ABC 是直角，SA 垂直于平面 ABCD， SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面 SCD 与平面 SBA 所成二面角的余弦。 D B C S A 分析：求二面角的余弦，可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。 所以本题关键是求平面的法向量。 解：以 A 为原点建立空间直角坐标系，使点 A、C、D、S 的坐标分别 为 A（0，0，0）、C（－1，1，0）、D（0，0.5、0）、S（0，0，1）。 设平面 由学生回答本例的 简便解法。 例 2 是一个典型的 通过解方程组求法 向量的问题，这类 问题可以不用作出 二面角的平面角就 求出结果。 取 y＝2，因为只要 向量的方向。 例 3 是数学与物理 的综合应用问题， 求合力转化为向量 的加法。 1DB 1DB 1 1(0, ,0)2SBA n AD  易知面 的法向量 2 ( , , ),SCD n x y z的法向量 2 2, ,n CD n SD    由 得： 02 02 yx y z       2 2 yx yz      2 (1,2,1)n 任取 1 2 1 2 1 2 6cos , 3| || | n nn n n n          6 3 即所求二面角得余弦值是 ？时，才能提起这块钢板 少动？这三个力最小为多力的作用下将会怎样运 这块钢板在这些，且是 角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三 力，在它的顶点处分别受质量为 角形面的钢板的如图，一块均匀的正三例 .20060 ,,,500 3 321 321 kgFFF FFFkg  F1 F2 F3 A C O 500kg B 分析：建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算。 为简化运算，可以选择以三角形的一个顶点为原点、一条边所在直线为一 条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。 ),0,1,0(),,(2 160cos 60, ),,,( 1 1  zyx ACABF zyxF   的数量积运算，得 ，利用向量的夹角均为与由于 为方向上的单位向量坐标设力 ),0,2 1,2 3(),,(2 160cos  zyx .2 1,12 1  yx解得 3 2,1222  zzyx 因此又因为 )3 2,2 1,12 1(2001 F所以 )3 2,0,3 1(200 )3 2,2 1,12 1(200 3 2   F F 类似地 帮助学生理解如何 建立坐标系。 单位向量的模为 1。 ).0,2 1,2 3(),0,1,0(),0,0,0( , CBA Axyz yAByAB xAyABCA 坐标分别为 则正三角形的顶点建立空间直角坐标系 轴的单位长度为轴正方向，方向为平面， 坐标为为原点，平面解：如图，以点 )6,0,0(200 )]3 2,0,3 1()3 2,2 1,12 1()3 2,2 1,12 1[(200 321    FFF＋它们的合力 探究：不建立坐标系，如何解决这个问题？ ――求每个力向上的分力。 开拓学生思维。 三、训练与 提高 1，课本 P113 第 11 题。 答案：3/8. 学生进行提高训练 应用. 四、小结 1． 根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通 过向量解决问题。 2． 个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。 反思归纳 五、作业 课本 P112 ，第 6 题 和 P113 第 10 题。 练习与测试： （基础题） 1，已知 S 是△ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若 ＝ ，则 x＋y＋z ＝ ． 答：0 2，把边长为 a 的正三角形 ABC 沿高线 AD 折成 60 的二面角，点 A 到 BC 的距离是（ ） A． a B． 6 2 a C． 3 3 a D． 15 4 a 答：D 3，若 a=(2x,1,3),b=(1,－2y,9),如果 a 与 b 为共线向量，则 A.x=1,y=1 B.x= ,y=－ C.x= ,y=－ D.x=－ ,y= 解析：因为 a=(2x,1,3)与 b=(1,－2y,9)共线，故有 = = ,∴x= ,y=－ ,应选 C. 答案：C 4，若空间三点 A(1，5，－2)、B(2，4，1)、C(p,3,q+2)共线，则 p=__________,q=__________. 解析：∵A、B、C 三点共线，则 =λ ,即(1，－1，3)=λ(p－1,－2,q+4)， 所以钢板仍静止不动。 由于 作用点为大小为 的合力方向向上， 这说明，作用在钢板上 ,5006200 .,6200  Okg ∴ ∴λ= ，代入得 p=3,q=2. 答案：3 2 （中等题） 5，棱长为 a 的正方体 OABC—O1A1B1C1 中，E、F 分别为棱 AB、BC 上的动点，且 AE=BF=x（0≤x≤a）. 如图，以 O 为原点，直线 OA、OC、OO1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， ⑴ 求证：A1F⊥C1E； ⑵ 当△BEF 的面积取得最大值时，求二面角 B1—EF—B 的正切值. 证明：（1）A1（a，0．a），F（a-x，a，0），C1（0，a，a），E（a，x，0） 所以 ),,(),,,( 11 aaxaECaaxFA  ，由此得 ECFA 11  =0， A1F⊥C1E （2）当△BEF 的面积取得最大值时，E、F 应分别为相应边的中点，可求得二面角 B1—EF—B 的正切 值 22 . 6，如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点. 试确定点 F 的位置，使得 D1E⊥平面 AB1F； 解：以 A 为坐标原点，建立下图所示的空间直角坐标系. 设 DF=x，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1 (0,1,1), E(1, ,0),F(x,1,0). ∴ =(1，－ ，－1)， =(1，0，1)， =(x,1,0). ∴ · =1－1=0，即 D1E⊥AB1. 于是 D1E⊥平面 AB1F D1E⊥AF · =0 x－ =0，即 x= . 故当点 F 是 CD 的中点时，D1E⊥平面 AB1F. C B A O C1 B1 O1 A1 E F y x z