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- 2021-06-12 发布
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第5课 函数的单调性与最值
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
函数的单调性
√
函数的最值
√
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定
义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
条件
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M是y＝f(x)的最大值
M是y＝f(x)的最小值
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．( )
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(3)函数y＝|x|是R上的增函数．( )
(4)所有的单调函数都有最值．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(2016·北京高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填序号)
①y＝；
②y＝cos x；
③y＝ln(x＋1)；
④y＝2－x.
④ [①中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数；
②中，y＝cos x在(－1,1)上先增后减；
③中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；
④中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．]
3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
2 [可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]
4．设函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________.
[∵f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴当a≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a]上递增，g(a)＝－1.当－20)在x∈(－1,1)上的单调性.
【导学号：62172024】
[解] 设－10，
∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)在(－1,1)上为减函数.
利用函数的单调性求最值
已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
[思路点拨] (1)先判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min＞0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论．
[解] (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，f′(x)＝1－＞0，x∈[1，＋∞)，
即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋＋2＝.
(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
法一：①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．
f(x)min＝f(1)＝a＋3.
要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，
∴－3＜a≤0.
②当0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数，
f(x)min＝f(1)＝a＋3，
∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.
综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1]．
法二：f(x)＝x＋＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，
∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即
a的取值范围为(－3,1]．
[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
请思考，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数呢？
[变式训练2] (2016·北京高考)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．
2 [法一：∵f′(x)＝，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.
法二：∵f(x)＝＝＝1＋，
∴f(x)的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.
法三：由题意可得f(x)＝1＋.
∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1，
∴1＜1＋≤2，即1＜≤2.
故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.]
函数单调性的应用
角度1 比较大小
设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是________.
【导学号：62172025】
b0.60.6>0.61.5，即b10.6＝1，即c>1.综上，bf(2x－1)成立的x的取值范围为________．
[由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得0，x>0)，
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
[解] (1)证明：任取x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知f(x)在上为增函数，∴f＝－2＝，f(2)＝－＝2，解得a＝.
12．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
【导学号：62172029】
[解] (1)证明：设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)f(x)＝＝＝1＋，
当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，
又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，
∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1]．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a0，
故需
解得2≤a<2＋2.]
3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a*b＝＋a＋b，a，b是正实数，已知1*k=3，求函数f（x）=k*x的值域.
[解] 由题意知1]k)＋1＋k＝3，解得k＝1或k＝－2(舍去)，
所以f(x)＝k*x＝1]x)＋x＋1＝2＋，因为＞0，所以f(x)＞1，即f(x)的值域是(1，＋∞)．
4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
[解] (1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
当x>1时，f(x)<0，∴f<0，
即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
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