高考数学复习 17-18版 第2章 第9课 对数与对数函数 13页

第9课 对数与对数函数 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 对数 ‎√‎ 对数函数的图象与性质 ‎√‎ ‎1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．‎ ‎2．对数的性质、换底公式与运算性质 ‎(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．‎ ‎(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．‎ ‎(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．‎ ‎3．对数函数的定义、图象与性质 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫作对数函数 图象 a＞1‎ ‎0＜a＜1‎ 性质 定义域：(0，＋∞)‎ 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)‎ 当0＜x＜1时，y＜0；‎ 当x＞1时，y＞0‎ 当0＜x＜1时，y＞0；‎ 当x＞1时，y＜0‎ 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 ‎4.反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)log2x2＝2log2x.(　　)‎ ‎(2)当x＞1时，logax＞0.(　　)‎ ‎(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．(　　)‎ ‎(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(2017·启东中学高三第一次月考)函数f(x)＝定义域为________．‎ ∪(2，＋∞)　[由得02.]‎ ‎3．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知＋＝2，则a＝________.‎ 　[∵＋＝2，‎ ‎∴loga2＋loga3＝2，‎ ‎∴loga6＝2，‎ ‎∴a2＝6，a>0，‎ ‎∴a＝.]‎ ‎4．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图91，则下列结论成立的是________．(填序号)‎ 图91‎ ‎①a＞1，c＞1；‎ ‎②a＞1,0＜c＜1；‎ ‎③0＜a＜1，c＞1；‎ ‎④0＜a＜1,0＜c＜1.‎ ‎④　[由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]　‎ ‎5．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．‎ ∪(1，＋∞)　[当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；‎ 当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.‎ 即实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]‎ 对数的运算 ‎　(1)设‎2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．‎ ‎(2)(2017·南通第一次学情检测)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝________.‎ ‎(1)　(2)4　[(1)∵‎2a＝5b＝m，∴a＝log‎2m，b＝log‎5m，‎ ‎∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，‎ ‎∴m＝.‎ ‎(2)∵logba＝，‎ ‎∴由logab＋logba＝得logab＝3或logab＝.‎ 又∵a>b>1，∴logab＝，即a＝b3.‎ 又ab＝ba，∴a＝3b，∴a＝3，b＝，‎ ‎∴a＋b＝4.]‎ ‎[规律方法]　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．‎ ‎2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．‎ ‎3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为________．‎ ‎(2)若a＝log43，则‎2a＋2－a＝________.‎ ‎(1)24　(2)　[(1)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×3＝24.‎ ‎(2)∵a＝log43＝log223＝log23＝log2，‎ ‎∴2a＋2－a＝2log2＋2－log2＝＋2log2＝＋＝.]‎ 对数函数的图象及应用 ‎　(1)(2017·南通二调)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1，b∈R)的图象如图92所示，则a＋b的值是________．‎ 图92‎ ‎(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 【导学号：62172048】‎ ‎(1)　(2)(1，＋∞)　[(1)由题图可知 解得b＝4，a＝，∴a＋b＝.‎ ‎(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．]‎ ‎[规律方法]　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．‎ ‎2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．‎ ‎[变式训练2]　如图93，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝________.‎ 图93‎ 　[由题意知等边△ABC的边长为2，则由点A的坐标(m，n)可得点B的坐标为(m＋，n＋1)．又A，B两点均在函数y＝log2x＋2的图象上，故有解得m＝.]‎ 对数函数的性质及应用 角度1　比较对数值的大小 ‎　(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则下列选项中正确的是________．(填序号)‎ ‎①logac＜logbc；‎ ‎②logca＜logcb；‎ ‎③ac＜bc；‎ ‎④ca＞cb.‎ ‎②　[对于①：logac＝，logbc＝，∵0＜c＜1，∴lg c＜0.而a＞b＞0，∴lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，∴logac与logbc的大小不能确定．对于②：logca＝，logcb＝，而lg a＞lg b，两边同乘一个负数不等号方向改变，∴logca＜logcb，∴②正确．对于③：利用y＝xc(0＜c＜1)在第一象限内是增函数，可得ac＞bc，∴③错误．对于④：利用y＝cx(0＜c＜1)在R上为减函数，可得ca＜cb，∴④错误．]‎ 角度2　解简单的对数不等式 ‎　(2016·浙江高考改编)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则下列说法正确的是________．(填序号)‎ ‎①(a－1)(b－1)<0；‎ ‎②(a－1)(a－b)>0；‎ ‎③(b－1)(b－a)<0；‎ ‎④(b－1)(b－a)>0.‎ ‎④　[法一：logab＞1＝logaa，‎ 当a＞1时，b＞a＞1；‎ 当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有④正确．‎ 法二：取a＝2，b＝3，排除①，②，③，故选④.]‎ 角度3　探究对数型函数的性质 ‎　已知函数f(x)＝loga(3－ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 【导学号：62172049】‎ ‎[解]　假设存在满足条件的实数a.‎ ‎∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在[1,2]上是关于x的减函数．‎ 又f(x)＝loga(3－ax)在[1,2]上是关于x的减函数，‎ ‎∴函数y＝logau是关于u的增函数，‎ ‎∴a＞1，x∈[1,2]时，u最小值为3－2a，‎ f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴ 即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.‎ ‎[规律方法]　利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．对数值取正、负值的规律 当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，logab＞0；‎ 当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，logab＜0.‎ ‎2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．‎ ‎3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．‎ ‎4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．‎ ‎2．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数)．‎ ‎3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．‎ 课时分层训练(九)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．lg ＋2lg 2－－1＝________.‎ ‎－1　[lg ＋2lg 2－－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2‎ ‎＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]‎ ‎2．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________. ‎ ‎【导学号：62172050】‎ ‎(－∞，－1)　(－1，＋∞)　[作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．]‎ ‎3．函数y＝的定义域是________．‎ 　[由log(2x－1)≥0⇒0＜2x－1≤1⇒＜x≤1.]‎ ‎4．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．‎ a＝b＞c　[因为a＝log23＋log2＝log23＝log23＞1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b＞c.]‎ ‎5．若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图94所示，则下列函数图象中正确的是________．(填序号)‎ 图94‎ ‎①　　　　②　　　　③　　　　④‎ ‎②　[由题图可知y＝logax的图象过点(3,1)，‎ ‎∴loga3＝1，即a＝3.‎ 选项①，y＝3－x＝x在R上为减函数，错误；‎ 选项②，y＝x3符合；‎ 选项③，y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，错误；‎ 选项④，y＝log3(－x)在(－∞，0)上为减函数，错误．]‎ ‎6．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是________. ‎ ‎【导学号：62172051】‎ ‎5　[由题意可知f(1)＝log21＝0，‎ f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，‎ f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，‎ 所以f(f(1))＋f＝5.]　‎ ‎7．已知函数y＝log2(ax－1)在(2,4)上单调递增，则a的取值范围是____________．‎ 　[由函数y＝log2(ax－1)在(2,4)上单调递增，得 解得a＞，‎ 则a的取值范围是.]‎ ‎8．(2017·苏锡常镇调研二)已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋f(log3)>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________. 【导学号：62172052】‎ ‎(0,1)∪(3，＋∞)　[∵f′(x)＝3x2＋2>0，‎ ‎∴f(x)为R上的递增函数，‎ 又f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数．‎ 由f(1)＋f>0得f(1)>－f(log3)＝f，‎ ‎∴loga3<1，即a>3或00，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(1,2]　[当x≤2时，y＝－x＋6≥4.∵f(x)的值域为[4，＋∞)，‎ ‎∴当a>1时，3＋logax>3＋loga2≥4，∴loga2≥1，‎ ‎∴1