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  • 2021-06-12 发布

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷)

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‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 数学(文)‎ ‎ ‎ ‎ 第一部分 (选择题 共40分)‎ 一、 选择题共8小题。每小题5分,共40分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设,且,则 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎4.在复平面内,复数对应的点位于 ‎(A)第一象限 (B)第二象限 ‎(C)第三象限 (D)第四象限 ‎5.在△ABC中,,,则 ‎(A) (B) (C) (D)1‎ ‎6.执行如图所示的程序框图,输出的S值为 开始 是 否 输出 结束 ‎ (A)1 (B) (C) (D)‎ 7‎ ‎7.双曲线的离心率大于的充分必要条件是 A. B. C. D.‎ ‎8.如图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有( )‎ ‎(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个 ‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二.填空题共6题,每小题5分,共30分。‎ ‎9.若抛物线的焦点坐标为(1,0)则=____;准线方程为_____.‎ ‎10.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.‎ ‎1‎ 俯视图 侧(左)视图 正(主)视图 ‎ 2 1 1 2 ‎ ‎11.若等比数列满足,则公比=__________;前项=_____.‎ ‎12.设为不等式组,表示的平面区域,区域上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为___________.‎ ‎13.函数f(x)=的值域为_________.‎ ‎14.已知点,,.若平面区域D由所有满足 7‎ 的点P组成,则D的面积为__________.‎ 三.解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎15.(本小题共13分)已知函数.‎ ‎(I)求的最小正周期及最大值; ‎ ‎(II)若,且,求的值.‎ ‎16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.‎ ‎(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率;‎ ‎(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;‎ ‎(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)‎ ‎17.(本小题共14分)如图,在四棱锥中,,,,平面底面,,和分别是和的中点,求证:‎ ‎(1)底面;(2)平面;(3)平面平面 ‎ ‎ 7‎ ‎18.(本小题共13分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点)处与直线相切,求与的值。‎ ‎(Ⅱ)若曲线与直线 有两个不同的交点,求的取值范围。‎ ‎19.(本小题共14分)直线():相交于,两点, 是坐标原点 ‎(1)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长。‎ ‎(2)当点在上且不是的顶点时,证明四边形不可能为菱形。‎ ‎20.本小题共13分)给定数列.对,该数列前项的最大值记为,后项的最小值记为,.‎ ‎(Ⅰ)设数列为3,4,7,1,写出,,的值;‎ ‎(Ⅱ)设()是公比大于1的等比数列,且.证明:‎ ‎,,…,是等比数列;‎ ‎(Ⅲ)设,,…,是公差大于0的等差数列,且,证明:,,…,是等差数列.‎ 7‎ 参考答案 一.选择题:‎ ‎1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B ‎ 二.填空题:‎ ‎9.2, 10.3 11.2, 12. 13.(-∞,2) 14.3 ‎ 三.解答题:‎ ‎15.解:(I)因为=‎ ‎==,所以的最小正周期为,最大值为.‎ ‎(II)因为,所以. 因为,‎ 所以,所以,故.‎ ‎16.解:(I)在3月1日至3月13日这13天中,1日.2日.3日.7日.12日.13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是.‎ ‎(II)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.所以此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率为.‎ ‎(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.‎ ‎17.(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD 所以PA垂直底面ABCD.‎ ‎(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点 所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED为平行四边形,‎ 所以BE∥AD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD 所以BE∥平面PAD.‎ ‎(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形 所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,‎ 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD 所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点 所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.‎ 7‎ ‎18.解:由,得.‎ ‎(I)因为曲线在点处与直线相切,所以 ‎,解得,.‎ ‎(II)令,得. ‎ 与的情况如下:‎ 所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,是的最小值.‎ 当时,曲线与直线最多只有一个交点;‎ 当时,>, ,‎ 所以存在,,使得.‎ 由于函数在区间和上均单调,所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点.‎ 综上可知,如果曲线与直线有且只有两个不同交点,那么的取值范围是.‎ ‎19.解:(I)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.‎ 所以可设,代入椭圆方程得,即. 所以|AC|=.‎ ‎(II)假设四边形OABC为菱形.‎ 7‎ 因为点B不是的顶点,且AC⊥OB,所以.‎ 由,消去并整理得.‎ 设A,C,则,.‎ 所以AC的中点为M(,).‎ 因为M为AC和OB的交点,且,,所以直线OB的斜率为.‎ 因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.‎ 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.‎ ‎20.解:(I).‎ ‎(II)因为,公比,所以是递增数列.‎ 因此,对,,. ‎ 于是对,.‎ 因此且(),即,,…,是等比数列.‎ ‎(III)设为,,…,的公差.‎ 对,因为,,所以=.‎ 又因为,所以.‎ 从而是递增数列,因此().‎ 又因为,所以.‎ 因此. 所以.‎ 所以=.‎ 因此对都有,即,,…,是等差数列.。 ‎ 7‎