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  • 2021-06-15 发布

高考数学难点突破29__排列、组合的应用问题

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高中数学难点 29 排列、组合的应用问题 排列、组合是每年高考必定考查的内容之一,纵观全国高考数学题,每年都有 1~2 道 排列组合题,考查排列组合的基础知识、思维能力. ●难点磁场 (★★★★★)有五张卡片,它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数? ●案例探究 [例 1]在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点,在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外),连同 O 点 共 m+n+1 个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有( ) 12 1 2 1 1112121 212121 1 21 1 CCC D.C CCCCCC.C CCC.C B CCCA.C nmnmnmmnnm mnnmmnnm     命题意图:考查组合的概念及加法原理,属★★★★★级题目. 知识依托:法一分成三类方法;法二,间接法,去掉三点共线的组合. 错解分析:A 中含有构不成三角形的组合,如:C 1 1m C 2 n 中,包括 O、Bi、Bj;C 1 1n C 2 m 中, 包含 O、Ap、Aq,其中 Ap、Aq,Bi、Bj 分别表示 OA、OB 边上不同于 O 的点;B 漏掉△AiOBj; D 有重复的三角形.如 C 1 m C 2 1n 中有△AiOBj,C 2 1m C 1 n 中也有△AiOBj. 技巧与方法:分类讨论思想及间接法. 解法一:第一类办法:从 OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上(不包括 O)中任取 两点,可构造一个三角形,有 C 1 m C 2 n 个;第二类办法:从 OA 边上(不包括 O)中任取两点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点,与 O 点可构造一个三角形,有 C 2 m C 1 n 个;第三类办法:从 OA 边上(不包括 O)任取一点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点,与 O 点可构造一个三角形, 有 C C 个.由加法原理共有 N=C C +C C +C C 个三角形. 解法二:从 m+n+1 中任取三点共有 C 3 1nm 个,其中三点均在射线 OA(包括 O 点),有 C 3 1m 个,三点均在射线 OB(包括 O 点),有 C 3 1n 个.所以,个数为 N=C -C 3 1m -C 3 1n 个. 答案:C [例 2]四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总 数是_________. 命题意图:本题主要考查排列、组合、乘法原理概念,以及灵活应用上述概念处理数学 问题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:排列、组合、乘法原理的概念. 错解分析:根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生,常采用先安排每学校一人,而 后将剩的一人送到一所学校,故有 3A 3 4 种.忽略此种办法是:将同在一所学校的两名学生按 进入学校的前后顺序,分为两种方案,而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序 要求的. 技巧与方法:解法一,采用处理分堆问题的方法.解法二,分两次安排优等生,但是进 入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的. 解法一:分两步:先将四名优等生分成 2,1,1 三组,共有 C 2 4 种;而后,对三组学生 安排三所学校,即进行全排列,有 A3 3 种.依乘法原理,共有 N=C 2 4 3 3A =36(种). 解法二:分两步:从每个学校至少有一名学生,每人进一所学校,共有 A 3 4 种;而后, 再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校,有 3 种.值得注意的是:同在一所学校的 两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此,共有 N= 2 1 A ·3=36(种). 答案:36 ●锦囊妙记 排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这 类问题通常有三种途径:(1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.(2)以 位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出 排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法,后一种方式 叫间接解法. 在求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 解排列与组合应用题常用的方法有:直接计算法与间接计算法;分类法与分步法;元素 分析法和位置分析法;插空法和捆绑法等八种. 经常运用的数学思想是: ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想. ●歼灭难点训练 一、填空题 1.(★★★★)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示). 2.(★★★★★)圆周上有 2n 个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数 为_________. 二、解答题 3.(★★★★★)某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A, 有 5 次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法? 4.(★★★★)二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0,1,2, 3,4}中选取 3 个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条? 5.(★★★★★)有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边. (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起. (4)全体排成一行,男、女各不相邻. (5)全体排成一行,男生不能排在一起. (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变. (7)排成前后二排,前排 3 人,后排 4 人. (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人. 6.(★★★★★)20 个不加区别的小球放入编号为 1、2、3 的三个盒子中,要求每个盒内 的球数不小于它的编号数,求不同的放法种数. 7.(★★★★)用五种不同的颜色,给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色,每部分涂一色,相 邻部分涂不同色,则涂色的方法共有几种? 8.(★★★★)甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班,若甲不值周一、乙不 值周六,则可排出不同的值班表数为多少? 参考答案 难点磁场 解:(间接法):任取三张卡片可以组成不同三位数 C 3 5 ·23·A 3 3 (个),其中 0 在百位的 有 C 2 4 ·22·A 2 2 (个),这是不合题意的,故共有不同三位数:C ·23·A -C ·22·A =432(个). 歼灭难点训练 一、1.解析:因为直线过原点,所以 C=0,从 1,2,3,5,7,11 这 6 个数中任取 2 个 作为 A、B 两数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数为 A 2 6 =30. 答案:30 2.解析:2n 个等分点可作出 n 条直径,从中任选一条直径共有 C 1 n 种方法;再从以下的 (2n-2)个等分点中任选一个点,共有 C 1 22 n 种方法,根据乘法原理:直角三角形的个数为: C ·C =2n(n-1)个. 答案:2n(n-1) 二、3.解:出牌的方法可分为以下几类: (1)5 张牌全部分开出,有 A 5 5 种方法; (2)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 2 5 种方法; (3)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 4 5 种方法; (4)2 张 2 一起出,3 张 A 分两次出,有 C 2 3 A 3 5 种方法; (5)2 张 2 分开出,3 张 A 一起出,有 A 种方法; (6)2 张 2 分开出,3 张 A 分两次出,有 C A 种方法. 因此,共有不同的出牌方法 A +A +A +A A +A +C A =860 种. 4.解:由图形特征分析,a>0,开口向上,坐标原点在内部 f(0)=c<0;a<0,开口向下, 原点在内部  f(0)=c>0,所以对于抛物线 y=ax2+bx+c 来讲,原点在其内部 af(0)=ac<0, 则确定抛物线时,可先定一正一负的 a 和 c,再确定 b,故满足题设的抛物线共有 C 1 3 C 1 4 A 2 2 A 1 6 =144 条. 5.解:(1)利用元素分析法,甲为特殊元素,故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选 择.有 A 1 3 种,其余 6 人全排列,有 A 6 6 种.由乘法原理得 A A =2160 种. (2)位置分析法.先排最右边,除去甲外,有 A 种,余下的 6 个位置全排有 A 种,但应 剔除乙在最右边的排法数 A 1 5 A 5 5 种.则符合条件的排法共有 A 1 6 A -A 1 5 A =3720 种. (3)捆绑法.将男生看成一个整体,进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有 A 3 3 A 5 5 =720 种. (4)插空法.先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位,共有 A 3 3 A 4 4 =144 种. (5)插空法.先排女生,然后在空位中插入男生,共有 A A 3 5 =1440 种. (6)定序排列.第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N,第二步,对甲、 乙、丙进行全排列,则为七个人的全排列,因此 A 7 7 =N×A 3 3 ,∴N= 3 3 7 7 A A = 840 种. (7)与无任何限制的排列相同,有 A =5040 种. (8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A 种,甲、乙和其余 2 人 排成一排且甲、乙相邻的排法有 A 2 3 A 3 3 .最后再把选出的 3 人的排列插入到甲、乙之间即可. 共有 A 3 5 ×A 2 2 ×A =720 种. 6.解:首先按每个盒子的编号放入 1 个、2 个、3 个小球,然后将剩余的 14 个小球排成 一排,如图,|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|,有 15 个空档,其中“O”表示小球,“|”表示 空档.将求小球装入盒中的方案数,可转化为将三个小盒插入 15 个空档的排列数.对应关系 是:以插入两个空档的小盒之间的“O”个数,表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧 的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒,最右侧空档必插入小盒,于 是,若有两个小盒插入最左侧空档,有 C 2 3 种;若恰有一个小盒插入最左侧空档,有 1 3 1 3CC 种; 若没有小盒插入最左侧空档,有 C 2 13种.由加法原理,有 N= 2 13 1 13 1 3 2 3 CCCC  =120 种排列方 案,即有 120 种放法. 7.解:按排列中相邻问题处理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的颜色.分类:若(1)(4)同色,有 A 3 5 种,若(2)(4)同色,有 A 3 5 种,若(1)(2)(3)(4)均不同色,有 A 4 5 种.由加法原理,共有 N=2A +A =240 种. 8.解:每人随意值两天,共有 C 2 6 C 2 4 C 2 2 个;甲必值周一,有 C 1 5 C C 个;乙必值周六, 有 C 1 5 C C 个;甲必值周一且乙必值周六,有 C 1 4 C 1 3 C 个.所以每人值两天,且甲必不值 周一、乙必不值周六的值班表数,有 N=C C C -2C C C + C C C =90-2×5× 6+12=42 个.