2020高中数学 第一章1 7页

1 1.1　变化率与导数 1.1.1　变化率问题 1.1.2 导数的概念 学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了 解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定 义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概 念．(易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．函数的平均变化率 (1)函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 Δy Δx＝ fx2－fx1 x2－x1 ，其中 Δx＝x2－x1 是相对于 x1 的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于 f(x1)的一个 “增量”． (2)平均变化率的几何意义 设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x)的平 均变化率 Δy Δx＝ fx2－fx1 x2－x1 ＝ fx1＋Δx－fx1 Δx 为割线 AB 的斜率，如图1­1­1 所 示． 图 1­1­1 思考：Δx，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？ [提示] Δx，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但 Δx 不能为零．平均变化率 Δy Δx可正、 可负、可为零． 2．瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)函数 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限即 lim Δx→0 Δy Δx＝ lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx . 3．导数的概念 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率，记作 f′(x0)或 y′| x＝x0，即 f′(x0)＝ lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx . 2 [基础自测] 1．思考辨析 (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy 都不可能为零．(　　) 提示：(1)由导数的定义知，函数在 x＝x0 处的导数只与 x0 有关，故正确． (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误． (3)在导数的定义中，Δy 可以为零，故错误． [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．函数 y＝f(x)，自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时，函数的改变量 Δy 为(　　) 【导学号：31062000】 A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) D　[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选 D.] 3．若一质点按规律 s＝8＋t2 运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是 (　　) A．4　　　 B．4.1 C．0.41　　　 D．－1.1 B　[v＝ Δs Δt＝ s2.1－s2 2.1－2 ＝ 2.12－22 0.1 ＝4.1，故选 B.] 4．函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率是________． [解析]　∵f(x)＝x2.∴在 x＝1 处的瞬时变化率是 lim Δx→0 Δy Δx＝ lim Δx→0 f1＋Δx－f1 Δx ＝ lim Δx→0 1＋Δx2－12 Δx ＝ lim Δx→0 (2＋Δx)＝2. [答案]　2 5．函数 f(x)＝2 在 x＝6 处的导数等于________． [解析]　f′(6)＝ lim Δx→0 f6＋Δx－f6 Δx ＝ lim Δx→0 2－2 Δx ＝0. [答案]　0 [合 作 探 究·攻 重 难] 求函数的平均变化率 　已知函数 f(x)＝3x2＋5，求 f(x)： (1)从 0.1 到 0.2 的平均变化率； 3 (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率. 【导学号：31062001】 [解]　(1)因为 f(x)＝3x2＋5， 所以从 0.1 到 0.2 的平均变化率为 3 × 0.22＋5－3 × 0.12－5 0.2－0.1 ＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5) ＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函数 f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 6x0Δx＋3Δx2 Δx ＝6x0＋3Δx. [规律方法]　1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量 Δy＝fx2－fx1； 第三步，求平均变化率 Δy Δx＝ fx2－fx1 x2－x1 . 2. 求 平 均 变 化 率 的 一 个 关 注 点  求 点 x0 附 近 的 平 均 变 化 率 ， 可 用 fx0＋Δx－fx0 Δx 的形式. [跟踪训练] 1．如图 1­1­2，函数 y＝f(x)在 A，B 两点间的平均变化率等于(　　) 图 1­1­2 A．1　　　 B．－1 C．2 D．－2 B　[平均变化率为 1－3 3－1＝－1.故选 B.] 2．已知函数 y＝f(x)＝2x2 的图象上点 P(1,2)及邻近点 Q(1＋Δx,2＋Δy)，则 Δy Δx的值 为(　　) 【导学号：31062002】 A．4 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx D　[ Δy Δx＝ 21＋Δx2－2 × 12 Δx ＝4＋2Δx.故选 D.] 4 求瞬时速度 [探究问题] 1．物体的路程 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝5t2，如何计算物体在[1,1＋Δt]这段时间 内的平均速度？ 提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，v＝ Δs Δt＝10＋5Δt. 2．当 Δt 趋近于 0 时，探究 1 中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：当 Δt 趋近于 0 时， Δs Δt趋近于 10，这时的平均速度即为当 t＝1 时的瞬时速 度． 　某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可用函数 s(t)＝t2＋t ＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度． [思路探究]　计算物体在[1，1＋Δt]内的平均速度 Δs Δt ― ― →令Δt→0 计算 lim Δt→0 Δs Δt―→得t＝1 s时的瞬时速度 [解]　∵ Δs Δt＝ s1＋Δt－s1 Δt ＝ 1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1 Δt ＝3＋Δt， ∴ lim Δt→0 Δs Δt＝ lim Δt→0 (3＋Δt)＝3. ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为 3. 即物体在 t＝1 s 时的瞬时速度为 3 m/s. 母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解]　求物体的初速度，即求物体在 t＝0 时的瞬时速度． ∵ Δs Δt＝ s0＋Δt－s0 Δt ＝ 0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1 Δt ＝1＋Δt， ∴ lim Δt→0 (1＋Δt)＝1. ∴物体在 t＝0 时的瞬时变化率为 1，即物体的初速度为 1 m/s. 2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为 9 m/s. [解]　设物体在 t0 时刻的瞬时速度为 9 m/s. 又 Δs Δt＝ st0＋Δt－st0 Δt ＝(2t0＋1)＋Δt. 5 lim Δt→0 Δs Δt＝ lim Δt→0 (2t0＋1＋Δt) ＝2t0＋1. 则 2t0＋1＝9， ∴t0＝4. 则物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s. [规律方法]　求运动物体瞬时速度的三个步骤 1求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs＝st0＋Δt－st0. 2求平均速度v＝ Δs Δt. 3求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，f(Δs,Δt)无限趋近于常数 v，即为瞬时 速度. 求函数在某一点处的导数 　(1)设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，且 lim Δx→0 fx0－3Δx－fx0 Δx ＝1，则 f′(x0)等于(　　) A．1 B．－1 C．－ 1 3 D． 1 3 (2)求函数 f(x)＝x－ 1 x在 x＝1 处的导数． [思路探究]　(1)类比 f′(x0)＝ lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx 求解． (2)先求Δy―→再求 Δy Δx―→计算 lim Δx→0 Δy Δx (1)C　[∵ lim Δx→0 fx0－3Δx－fx0 Δx ＝ lim Δx→0 [fx0－3Δx－fx0 －3Δx ·－3]＝－3f′(x0)＝1， ∴f′(x0)＝－ 1 3，故选 C.] (2)∵Δy＝(1＋Δx)－ 1 1＋Δx－(1－ 1 1 ) ＝Δx＋1－ 1 1＋Δx＝Δx＋ Δx 1＋Δx， ∴ Δy Δx＝ Δx＋ Δx 1＋Δx Δx ＝1＋ 1 1＋Δx， 6 ∴f′(1)＝ lim Δx→0 Δy Δx＝ lim Δx→0 (1＋ 1 1＋Δx)＝2. [规律方法]　求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限． [跟踪训练] 3．已知 f′(1)＝－2，则 lim Δx→0 f1－2Δx－f1 Δx ＝________. 【导学号：31062003】 [解析]　∵f′(1)＝－2， ∴ lim Δx→0 f1－2Δx－f1 Δx ＝ lim Δx→0 f1－2Δx－f1 (－ 1 2 ) × －2Δx ＝－2 lim Δx→0 f1－2Δx－f1 －2Δx ＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4. [答案]　4 4．求函数 y＝3x2 在 x＝1 处的导数． [解]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ Δy Δx＝6＋3Δx， ∴f′(1)＝ lim Δx→0 Δy Δx＝ lim Δx→0 (6＋3Δx)＝6. [当 堂 达 标·固 双 基] 1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是 (　　) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 B　[v＝ s2.1－s2 2.1－2 ＝ 4.2－4 0.1 ＝2.] 2 ． 物 体 自 由 落 体 的 运 动 方 程 为 s(t) ＝ 1 2gt2 ， g ＝ 9.8 m/s2 ， 若 v ＝ lim Δt→0＝ s1＋Δt－s1 Δt ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　) 【导学号：31062004】 7 A．9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率 B．9.8 m/s 是 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的速率 C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速率 D．9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的平均速率 C　[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项 C 正确．] 3．函数 f(x)＝ x在 x＝1 处的导数为________． [解析]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1， ∴ Δy Δx＝ 1＋Δx－1 Δx ＝ 1 1＋Δx＋1， ∴f′(1)＝ lim Δx→0 Δy Δx＝ lim Δx→0 1 1＋Δx＋1＝ 1 2. [答案]　 1 2 4．设 f(x)在 x0 处可导，若 lim Δx→0 fx0＋3Δx－fx0 Δx ＝A，则 f′(x0)＝________. [解析]　 lim Δx→0 fx0＋3Δx－fx0 Δx ＝3 lim 3Δx→0 fx0＋3Δx－fx0 3Δx ＝3f′(x0)＝A. 故 f′(x0)＝ 1 3A. [答案]　 A 3 5．在曲线 y＝f(x)＝ x2 ＋3 上取一点 P(1,4)及附近一点(1＋Δ x,4＋Δy)，求： (1) Δy Δx；(2)f′(1). 【导学号：31062005】 [解]　(1) Δy Δx＝ f1＋Δx－f1 Δx ＝ 1＋Δx2＋3－12＋3 Δx ＝2＋Δx. (2)f′(1)＝ lim Δx→0 f1＋Δx－f1 Δx ＝ lim Δx→0 (2＋Δx)＝2.