2019年高考数学总复习检测第35讲　数列的概念及其表示法 3页

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2021-06-15 发布

2019年高考数学总复习检测第35讲　数列的概念及其表示法

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第 35 讲　数列的概念及其表示法 1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－9n，第 k 项满足 5an－1 B．anan－1. 3．已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么 a100＝(A) A．9900 B．9090 C．10010 D．10100 因为 an－an－1＝2(n－1)，所以 an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，因为 a1＝0，所以 an＝n(n－1)．所以 a100＝100×99＝9900. 4．(2016·河南洛阳模拟)设数列{an}满足 a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n 2(n∈N*)，则数列 {an}的通项公式是(C) A．an＝ 1 2n B．an＝ 1 2n－1 C．an＝ 1 2n D．an＝ 1 2n＋1 设{2n－1an}的前 n 项和为 Tn，由条件 Tn＝n 2. 当 n≥2 时，2n－1an＝Tn－Tn－1＝n 2－n－1 2 ＝1 2，所以 an＝ 1 2 2n－1＝ 1 2n，当 n＝1 时，20a1＝a1＝T1＝1 2，所以 a1＝1 2满足上式，所以 an＝ 1 2n. 5．在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项 an＝　2n＋1－3　. 因为 an＋1＝2an＋3(n≥1)，所以 an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1)，即{an＋3}是以 a1＋3＝4 为首项，2 为公比的等比数列，an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以该数列的通项 an＝2n＋1－3. 6．(2014·新课标卷Ⅱ)数列{an}满足 an＋1＝ 1 1－an，a8＝2，则 a1＝　1 2　. 由 an＋1＝ 1 1－an，得 an＝1－ 1 an＋1，因为 a8＝2，所以 a7＝1－ 1 a8＝1－1 2＝1 2， a6＝1－ 1 a7＝－1，a5＝1－ 1 a6＝2，…，所以{an}是以 3 为周期的数列，所以 a1＝a7＝1 2. 7．(2016·新课标卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋ 1＝0. (1)求 a2，a3； (2)求{an}的通项公式． (1)由题意可得 a2＝1 2，a3＝1 4. (2)由 a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0 得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以an＋1 an ＝1 2. 故{an}是首项为 1，公比为1 2的等比数列，因此 an＝ 1 2n－1. 8．(2017·安徽黄山二模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则 S5＝(D) A．31 B．42 C．37 D．47 因为 an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，即 Sn＋1－Sn＝Sn＋1，所以 Sn＋1＋2＝2(Sn＋1)(n∈N*)，所以数列{Sn＋1}是首项为 3，公比为 2 的等比数列，所以 S5＋1＝3×24，解得 S5＝47. 9．(2016·广州市模拟)设数列{a n}的各项都是正数，且对任意 n∈N*，都有 4Sn＝a2n＋ 2an，其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则数列{an}的通项公式为 an＝　2n　. 因为 4Sn＝a2n＋2an，① 当 n＝1 时，4a1＝a21＋2a1，得 a1＝2. 当 n≥2 时，4Sn－1＝a 2n－1＋2an－1，② ①－②得 4an＝a2n－a 2n－1＋2an－2an－1，即 2(an＋an－1)＝(an＋an－1)(an－an－1)，因为 an>0，所以 an－an－1＝2. 所以{an}是首项为 2，公差为 2 的等差数列，所以 an＝2＋(n－1)×2＝2n. 10．(2018·河北五校高三联考)已知数列{an}满足： 1 a1＋ 2 a2＋…＋ n an＝3 8(32n－1)，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log3 an n ，求 1 b1b2＋ 1 b2b3＋…＋ 1 bnbn＋1. (1) 1 a1＝3 8(32－1)＝3，当 n≥2 时，因为 n an＝( 1 a1＋ 2 a2＋…＋ n an)－( 1 a1＋ 2 a2＋…＋n－1 an－1)＝3 8(32n－1)－3 8(32n－2－1)＝32n－1，当 n＝1， n an＝32n－1 也成立，所以 an＝ n 32n－1. (2)bn＝log3 an n ＝－(2n－1)．因为 1 bnbn＋1＝ 1 (2n－1)(2n＋1)＝1 2( 1 2n－1－ 1 2n＋1)，所以 1 b1b2＋ 1 b2b3＋…＋ 1 bnbn＋1＝1 2[(1－1 3)＋(1 3－1 5)＋…＋( 1 2n－1－ 1 2n＋1)] ＝1 2(1－ 1 2n＋1)＝ n 2n＋1.

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