2019年高考数学总复习检测第44讲　基本不等式 3页

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2021-06-11 发布

2019年高考数学总复习检测第44讲　基本不等式

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第44讲　基本不等式 ‎1．对x∈R且x≠0都成立的不等式是(D)‎ A．x＋≥2 B．x＋≤－2‎ C.≥ D．|x＋|≥2‎ ‎ 因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－(－x＋)≤－2，所以A，B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.‎ ‎2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a1，即v>a.‎ ‎3．(2015·湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(C)‎ A. B．2‎ C．2 D．4‎ ‎ 由＋＝知a>0，b>0，‎ 所以＝＋≥2 ，即ab≥2，‎ 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，‎ 所以ab的最小值为2.‎ ‎4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(B)‎ A．3 B．4‎ C. D. ‎ 利用基本不等式，‎ x＋2y＝8－x·(2y)≥8－()2，‎ 整理，得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，‎ 即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，‎ 又x＋2y>0，所以x＋2y≥4.‎ 当且仅当x＝2，y＝1时取等号．‎ ‎5．(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为　4　.‎ ‎ 因为a，b∈R，ab＞0，‎ 所以≥＝4ab＋≥2 ＝4，‎ 当且仅当即时取得等号．‎ 故的最小值为4.‎ ‎6．如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为　20　(m)．‎ ‎ 设矩形的高为y(m)，面积为S(m2)，‎ 由三角形相似得＝，即x＋y＝40.‎ 所以S＝xy≤()2＝400，‎ 当且仅当x＝y＝20时等号成立．‎ ‎7．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1.‎ ‎(1)求＋的最小值；‎ ‎(2)求log2x＋log2y的最大值．‎ ‎ (1)因为＋＝(＋)(4x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9.‎ 当且仅当＝，即x＝，y＝时，取“＝”．‎ 所以＋的最小值为9.‎ ‎(2)log2x＋log2y＝log2(xy)＝log2(·4x·y)‎ ‎≤log2[()2]＝log2＝－4，‎ 当且仅当4x＝y，即x＝，y＝时取“＝”．‎ 所以log2x＋log2y的最大值为－4.‎ ‎8．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若对任意x>2，不等式 ‎(x－a)⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是(C)‎ A．[－1,7] B．(－∞，3]‎ C．(－∞，7] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)‎ ‎ 由题意可知，不等式(x－a)⊗x≤a＋2可化为(x－a)(1－x)≤a＋2，即x－x2－a＋ax≤a＋2，‎ 所以a≤对x>2都成立，‎ 即a≤()min.‎ 由于＝(x－2)＋＋3≥2＋3＝7(x>2)，‎ 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，所以a≤7.‎ ‎9．(2018·湖南长郡中学联考)已知向量a，b满足：|a|＝|b|＝1且a·b＝，若c＝xa＋yb，‎ 其中x>0，y>0且x＋y＝2，则|c|的最小值是　　.‎ ‎ 因为|a|＝|b|＝1，a·b＝，‎ 所以|c|2＝x2＋y2＋2xya·b＝x2＋y2＋xy ‎＝(x＋y)2－xy＝4－xy≥4－()2≥3.‎ 当且仅当x＝y＝1时，取“＝”．‎ 所以|c|≥.‎ ‎10．某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价400元，两侧墙砌砖，每米长造价450元，顶部每平方米造价200元，求：‎ ‎(1)仓库面积S的最大允许值是多少？‎ ‎(2)为使S达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？‎ ‎ (1)设铁栅长为x米，两侧砖墙长为y米，且x，y>0.顶部面积S＝xy，‎ 依题意得，400x＋900y＋200xy＝32000，‎ 由基本不等式得 ‎32000＝400x＋900y＋200xy≥2＋200xy ‎＝1200＋200xy，‎ 即32000≥1200＋200S，即S＋6－160≤0，‎ 令t＝(t>0)，得t2＋6t－160≤0，‎ 即(t－10)(t＋16)≤0，‎ 所以0

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