2019年高考数学总复习检测第16讲　导数在函数中的应用——单调性 3页

第16讲　导数在函数中的应用——单调性 ‎1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(D)‎ A．(－∞，2) B．(0,3)‎ C．(1,4) D．(2，＋∞)‎ ‎ f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，‎ 令f′(x)>0，解得x>2.‎ ‎2．若函数f(x)＝x3－ax在区间[1，＋∞)内单调递增，则a的最大值是(B)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎ 依题意，f′(x)＝3x2－a≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，‎ 即a≤3x2对x∈[1，＋∞)恒成立，所以a≤3.‎ ‎3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(B)‎ ‎ A．f′(x)>0, g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0‎ C．f′(x)<0, g′(x)>0 D．f′(x)<0, g′(x)<0‎ ‎　　 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，由图象的对称性知，当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0，选B.‎ ‎4．(2016·新课标卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]上的图象大致为(D)‎ ‎ 因为f(2)＝8－e2∈(0,1)，排除A，B.‎ 又因为f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，‎ 所以x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex.‎ 又f′(0)＝－1<0，f′(2)＝8－e2>0，‎ 所以由零点存在定理知f′(x)＝0在(0,2)至少存在一个实根x0，所以f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点x0，排除C.故选D.‎ ‎5．函数y＝xln x的单调递减区间为　(0，)　，单调递增区间为　(，＋∞)　.‎ ‎ 因为y′＝ln x ＋x·＝ln x＋1，‎ 当ln x＋1<0，即 00，即 x>时，函数单调递增．‎ ‎6．若函数f(x)＝－(x－2)2＋bln x在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围为　(－∞，－1]　.‎ ‎ 由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0在x∈(1，＋∞)恒成立．即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，‎ 由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，所以只要b≤－1即可．‎ ‎7．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：‎ ‎(1)a的值；‎ ‎(2)函数f(x)的单调区间．‎ ‎ (1)因为f(x)＝x3＋ax2－9x－1，‎ ‎ 所以f′(x)＝3x2＋2ax－9＝3(x＋)2－9－.‎ 即当x＝－时，f′(x)取得最小值－9－.‎ 因为斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－＝－12，即a2＝9，解得a＝±3，‎ 由题设a<0，所以a＝－3.‎ ‎(2)由(1)知a＝－3，因此f(x)＝x3－3x2－9x－1，‎ ‎ f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.‎ 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数；‎ 当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,3)上为减函数；‎ 当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(3，＋∞)上为增函数．‎ 由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)；单调递减区间为(－1,3)．‎ ‎8．(2017·抚州七校联考)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的递减区间为(D)‎ A．(0,4) B．(－∞，1)，(，4)‎ C．(0，) D．(0,1)，(4，＋∞)‎ ‎ 结合图象，x∈(0,1)和x∈(4，＋∞)时，f′(x)－f(x)<0，‎ 此时g′(x)＝<0.‎ 故g(x)在(0,1)，(4，＋∞)内递减．‎ ‎9．(2016·广州市高考模拟)已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)>0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x>0)的零点个数为　0　.‎ ‎ 因为g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，‎ 所以g(x)在(0，＋∞)为增函数，‎ 又g(0)＝1>0，所以g(x)在(0，＋∞)恒大于0，‎ 所以g(x)在(0，＋∞)上没有零点．‎ ‎10．已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．‎ ‎ (1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.‎ 当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上为增函数，‎ 当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝ln a，‎ 则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，ln a)上为减函数，‎ 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(ln a，＋∞)上为增函数．‎ ‎(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x，‎ 因为g(x)在(2，＋∞)上为增函数，‎ 所以g′(x)＝xex－mex＋m＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，‎ 即m≤在(2，＋∞)上恒成立，‎ 令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，‎ h′(x)＝＝.‎ L(x)＝ex－x－2，‎ L′(x)＝ex－1>0在(2，＋∞)上恒成立，‎ 即L(x)＝ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，‎ 即L(x)>L(2)＝e2－4>0，h′(x)>0.‎ 即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，‎ 所以h(x)>h(2)＝.所以m≤.‎