2019年高考数学总复习检测第60讲　抛物线 4页

第60讲　抛物线 ‎1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线的焦点的距离是(B)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．12‎ ‎ 因为y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，‎ 由P到y轴的距离为4知，P到准线的距离为6，‎ 由抛物线的定义知P到焦点F的距离为6.‎ ‎2．(2013·新课标卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(C)‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎ 设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝4，‎ 所以x0＝3，所以y＝4x0＝4×3＝24，‎ 所以|y0|＝2，因为F(，0)，‎ 所以S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.‎ ‎3．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(A)‎ A．n＋10 B．n＋20‎ C．2n＋10 D．2n＋20‎ ‎ 由抛物线的定义可知|PiF|＝xi＋＝xi＋1，‎ 所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝10＋n.‎ ‎4．(2016·新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(D)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ ‎ 因为y2＝4x，所以F(1,0)．又因为曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，所以P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k>0)得k＝2.故选D.‎ ‎5．(2018·广东七校联考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝　　.‎ ‎ 设A，B的横坐标分别为xA，xB，‎ 由抛物线的定义可知|AF|＝xA＋＝xA＋1＝3，‎ 所以xA＝2，‎ 又AB是抛物线的焦点弦，xA，xB满足xA·xB＝＝1，‎ 所以xB＝，所以|BF|＝xB＋＝＋1＝.‎ ‎6．(2016·湖南省六校联考)若以双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点F1，F2和点M(1，)为顶点的三角形为直角三角形，则y2＝4bx的焦点坐标为　(1,0)　.‎ ‎ 显然点M(1，)为直角顶点，‎ 所以|OM|＝＝|F1F2|＝c，所以b＝1.‎ 故抛物线为y2＝4x，其焦点为(1,0)．‎ ‎7．已知斜率为1的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．‎ ‎(1)求直线l的方程(用p表示)；‎ ‎(2)若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：|AB|＝x1＋x2＋p；‎ ‎(3)若|AB|＝4，求抛物线方程．‎ ‎ (1)因为抛物线的焦点F的坐标为(，0)，‎ 又因为直线l的斜率为1，‎ 所以直线l的方程为：y＝x－.‎ ‎(2)证明：过点A，B分别作准线的垂线AA′，BB′，交准线于A′，B′，‎ 则由抛物线的定义得：‎ ‎|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|‎ ‎＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.‎ ‎(3)由|AB|＝4，得x1＋x2＋p＝4，‎ 直线y＝x－与抛物线方程联立，‎ ⇒x2－3px＋＝0，‎ 由韦达定理，得x1＋x2＝3p，代入x1＋x2＋p＝4，‎ 解得p＝1，故抛物线方程为y2＝2x.‎ ‎8．(2017·新课标卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(C)‎ A. B．2 C．2 D．3 ‎ 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．‎ 联立得方程组解得或 因为点M在x轴的上方，所以M(3,2)．‎ 因为MN⊥l，所以N(－1,2)．‎ 所以|NF|＝ ＝4，‎ ‎|MF|＝＝4，‎ ‎|MN|＝ ＝4.‎ 所以△MNF是边长为4的等边三角形．‎ 所以点M到直线NF的距离为2.‎ ‎9．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝2，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为　　.‎ ‎ 设AB的中点为C，AB的延长线与准线相交于D，‎ 设A，B，C，F在准线上的投影分别为A′，B′，C′，F′，设FB＝t，则AF＝2t，‎ 由抛物线的定义，知AA′＝2t，BB′＝t，‎ 所以BB′为△DA′A的中位线，所以BD＝3t，‎ 由△DF′F∽△DC′C，得＝，‎ 所以＝，解得C′C＝.‎ ‎10．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；‎ ‎②求p的取值范围．‎ ‎ (1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)，‎ 由点(，0)在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，‎ 即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．‎ 因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.‎ ‎①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)‎ 因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，‎ 从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.‎ 方程(*)的两根为y1,2＝－p±，‎ 从而y0＝＝－p.‎ 因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.‎ 因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．‎ ‎②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，‎ 所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.‎ 由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.‎ 因此，p的取值范围是(0，)．‎