2020-2021学年人教A版数学选修2-2课时作业：1-7 周练卷3 7页

周练卷(三) 选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1．函数 y＝错误!cosxdx 的导数是( A ) A．y′＝cosx B．y′＝－sinx C．y′＝cosx－1 D．y′＝sinx 解析：∵(sinx)′＝cosx，∴y＝错误!cosxdx＝sinxx0＝sinx. ∴y′＝(sinx)′＝cosx.故选 A. 2. 错误!x3dx＝( B ) A．4 B．15 4 C．16 D．15 解析：由牛顿莱布尼兹公式可得 错误!x3dx＝1 4x4|2 -1 ＝15 4 . 3.错误!|x2－4|dx＝( C ) A.21 3 B．22 3 C.23 3 D．25 3 解析：错误!|x2－4|dx＝错误!(4－x2)dx＋错误!(x2－4)dx ＝ 4x－1 3x3 |2 0 ＋ 1 3x3－4x |2 3 ＝23 3 ，故选 C. 4．已知函数 f(a)＝错误!sinxdx，则 f f π 2 ＝( B ) A．1 B．1－cos1 C．0 D．cos1－1 解析：f π 2 ＝错误!sinxdx＝－cosx|π 2 0 ＝1， f[f(π 2)]＝f(1)＝错误!sinxdx＝－cosx|1 0 ＝1－cos1. 5．由直线 x＝－π 3 ，x＝π 3 ，y＝0 与曲线 y＝cosx 所围成的封闭图 形的面积为( D ) A.1 2 B．1 C. 3 2 D． 3 解析： 作出曲线 y＝cosx 及直线 x＝－π 3 ，x＝π 3 ，可知封闭图形为图中阴 影部分． 由定积分可求得阴影部分的面积 S＝错误!cosxdx＝sinx|π 3 －π 3 ＝ 3 2 － － 3 2 ＝ 3， 所以封闭图形的面积是 3.故选 D. 6．由直线 x＝1 2 ，x＝2，曲线 y＝－1 x 及 x 轴所围图形的面积为 ( B ) A．－2ln2 B．2ln2 C．1 2ln2 D．15 4 解析：作出图形，如图中阴影部分．阴影部分的面积 S＝ 错误! 0－ －1 x dx＝错误!1 xdx＝lnx2|1 1 2 ＝ln2－ln1 2 ＝ln2＋ln2＝2ln2.故 选 B. 7．函数 F(x)＝错误!t(t－4)dt 在[－1,5]上( B ) A．有最大值 0，无最小值 B．有最大值 0 和最小值－32 3 C．有最小值－32 3 ，无最大值 D．既无最大值也无最小值 解 析 ： F(x) ＝ 错误! (t2 － 4t)dt ＝ 1 3t3－2t2 |x 0 ＝ 1 3 x3 － 2x2( － 1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由 F′(x)＝0，得 x＝0 或 4，列表如下： 可见极大值 F(0)＝0，极小值 F(4)＝－32 3 . 又 F(－1)＝－7 3 ，F(5)＝－25 3 ，所以最大值为 0，最小值为－32 3 . 8．汽车以 32 m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以 加速度 a＝－8 m/s2 匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车行驶的 路程为( B ) A．128 m B．64 m C．32 m D．80 m 解析：由匀减速运动可得 vt＝v0＋at，其中 v0＝32 m/s，a＝－8 m/s2，故 vt＝32－8t，令 vt＝0，得 t＝4，即刹车时间为 4 s，可得刹 车距离为 s＝错误!(32－8t)dt＝(32t－4t2) |4 0 ＝64(m)． 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 9．计算：错误! 4－x2dx＝2π 3 － 3 2 . 解析： 本题考查定积分的几何意义．由定积分的几何意义，知所求积分 是图中阴影部分的面积．设 A(1， 3)，B(1,0)，则 AB＝ 3，∠AOB ＝π 3 ，故 错误! 4－x2dx＝1 6 ×4π－1 2 ×1× 3＝2π 3 － 3 2 . 10．曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的封闭图形的面积为1 6. 解析：本题主要考查定积分的应用．由题意可得封闭图形的面积 为错误!(x－x2)dx＝ 1 2x2－1 3x3 |1 0 ＝1 2 －1 3 ＝1 6. 11．一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(m/s) 运动，则在 t＝4 s 时，该质点距出发点4 3 m，经过的路程为 4 m. 解析：在 t＝4 s 时，质点的位移为 错误!(t2－4t＋3)dt＝ 1 3t3－2t2＋3t |4 0 ＝4 3(m)． 即在 t＝4 s 时，质点距出发点4 3 m. 又因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上 的 v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0. 所以在 t＝4 s 时，质点经过的路程 三、解答题(共 45 分) 12．(15 分)计算下列定积分： (1) 错误! (1－2sin2x)dx； (2)错误! x＋ 1 x 2dx. 解：(1)∵1－2sin2x＝cos2x，且 1 2sin2x ′＝cos2x， ∴错误! (1－2sin2x)dx＝错误!cos2xdx＝1 2sin2x|π 3 0 ＝1 2 × 3 2 －0 ＝ 3 4 . (2)∵ x＋ 1 x 2＝x＋1 x ＋2， 且 1 2x2＋lnx＋2x ′＝x＋1 x ＋2， ∴错误! x＋ 1 x 2dx＝错误! x＋1 x ＋2 dx＝ 1 2x2＋lnx＋2x 32 ＝ 1 2 ×9＋ln3＋6 － 1 2 ×4＋ln2＋4 ＝9 2 ＋ln3 2. 13．(15 分)在曲线 y＝x3(x≥0)上的某一点 A 处作切线 l，使之与 该曲线以及 x 轴所围成的图形的面积为 1 12 ，求切点 A 的坐标及切线 l 的方程． 解： 如图所示，设切点 A(x0，x30)，x0>0，由 y′＝3x2，知过点 A 的切 线 l 的方程为 y－x30＝3x20(x－x0)，即 y＝3x20x－2x30.令 y＝0，得 x＝2x0 3 . 设切线 l 与 x 轴的交点为 C，则 C 2x0 3 ，0 . 设由曲线 y＝x3、切线 l 及 x 轴所围成的图形(阴影部分)的面积为 S，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B. 14．(15 分)由直线 y＝kx(k>0)与直线 y＝0，x＝1 所围成的图形的 面积为 S1；由曲线 y＝3－3x2 与直线 x＝0，x＝1，y＝0 所围成的图形 的面积为 S2，当 S1＝S2 时，求 k 的值及直线 y＝kx(k>0)的方程． 解： 如图，由曲线 y＝3－3x2 与直线 x＝0，x＝1，y＝0 所围成的图形 的面积 S2＝错误!(3－3x2)dx＝(3x－x3) |1 0 ＝3－1＝2. 由直线 y＝kx(k>0)与直线 y＝0，x＝1 所围成的图形的面积 S1＝错误!kxdx＝1 2kx2|1 0 ＝1 2k. ∵S1＝S2，∴1 2k＝2，解得 k＝4， ∴直线 y＝kx(k>0)的方程为 y＝4x.