2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：2-4 周练卷5 7页

周练卷(五) 一、选择题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分) 1．抛物线 y2＝8x 的焦点到直线 x－ 3y＝0 的距离是( D ) A．2 3 B．2 C. 3 D．1 解析：y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，它到直线 x－ 3y＝0 的距离 d＝ 2 1＋3 ＝1.故选 D. 2．准线与 x 轴垂直，且经过点(1，－ 2)的抛物线的标准方程是 ( B ) A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y 解析：本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标 准方程为 y2＝ax，则(－ 2)2＝a，解得 a＝2，因此抛物线的标准方程 为 y2＝2x，故选 B. 3．已知点 P(6，y)在抛物线 y2＝2px(p>0)上，若点 P 到抛物线焦 点 F 的距离等于 8，则焦点 F 到抛物线准线的距离等于( C ) A．2 B．1 C．4 D．8 解析：本题主要考查抛物线的定义和抛物线的焦点到准线的距 离．抛物线 y2＝2px(p>0)的准线为 x＝－p 2.因为 P(6，y)为抛物线上的 点，所以点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线的距离，所以 6＋p 2 ＝8， 解得 p＝4，所以焦点 F 到抛物线准线的距离等于 4，故选 C. 4．抛物线 y2＝12x 的准线与双曲线y2 3 －x2 9 ＝－1 的两条渐近线所 围成的三角形的面积为( A ) A．3 3 B．2 3 C．2 D. 3 解析：本题主要考查抛物线和双曲线中的基本量和三角形面积的 计算．抛物线 y2＝12x 的准线为 x＝－3，双曲线的两条渐近线为 y＝ ± 3 3 x，它们所围成的三角形为边长为 2 3的正三角形，所以所求三 角形的面积为 3 3，故选 A. 5．过点(0,1)且与抛物线 y2＝4x 只有一个公共点的直线有( C ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．0 条 解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系．易知过点(0,1) 且斜率不存在的直线 x＝0，满足与抛物线 y2＝4x 只有一个公共点．当 过点(0,1)的直线的斜率存在时，设直线方程为 y＝kx＋1，与 y2＝4x 联立，整理，得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当 k＝0 时，方程有一个解， 满足直线 y＝kx＋1 与抛物线 y2＝4x 只有一个公共点；当 k≠0 时，由 Δ＝0，可得 k＝1，满足直线 y＝kx＋1 与抛物线 y2＝4x 只有一个公共 点．综上，满足题意的直线有 3 条，故选 C. 6．过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于 P(x1，y1)， Q(x2，y2)两点，若 x1＋x2＝3p，则|PQ|＝( A ) A．4p B．5p C．6p D．8p 解析：设焦点为 F，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝ x1＋p 2 ＋ x2＋p 2 ＝x1＋ x2＋p＝4p. 7．已知双曲线y2 4 －x2＝1 的两条渐近线分别与抛物线 y2＝2px(p>0) 的准线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为 1，则 p 的值为( B ) A．1 B. 2 C．2 2 D．4 解析：双曲线y2 4 －x2＝1 的两条渐近线方程是 y＝±2x. 又抛物线 y2＝2px(p>0)准线方程是 x＝－p 2 ， 故 A，B 两点的纵坐标分别是 y＝±p. ∵△AOB 的面积为 1，∴1 2·p 2·2p＝1. ∵p>0，∴p＝ 2. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 8．若抛物线 y2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则 p＝2，准线方程为 x ＝－1. 解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用．因为抛物 线 y2＝2px 的焦点坐标为 p 2 ，0 ，准线方程为 x＝－p 2 ，所以 p＝2，准 线方程为 x＝－1. 9．已知点 A －1 2 ，0 ，抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，点 P 在抛物 线上，且|AP|＝ 2|PF|，则|OP|＝ 5 2 . 解析：过 P 作抛物线 y2＝2x 准线的垂线，垂足为 B.由|AP|＝ 2|PF| 知△PBA 为等腰直角三角形，则四边形 PBAF 为正方形，故 P 1 2 ，1 . ∴|OP|＝ 5 2 . 10．在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A(2,1)，若线段 OA 的 垂直平分线过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是 x＝－5 4. 解析：线段 OA 的垂直平分线方程为 y＝－2x＋5 2 ，令 y＝0，得 x ＝5 4.于是抛物线的焦点为 F 5 4 ，0 . 故抛物线方程为 y2＝5x，其准线方程为 x＝－5 4. 11．过抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线，与 抛物线分别交于 A，B 两点(点 A 在 y 轴左侧)，则|AF| |FB| ＝1 3. 解析： 本题主要考查抛物线定义的应用．如图，过点 A，B 作准线的垂 线，垂足分别为 D，E，再过点 A 作 AC 垂直 BE 于点 C，设|BC|＝a， 由于直线 AB 的倾斜角为 30°，因此|AB|＝2a.由|AD|＝|AF|，|BF|＝|BE|， 得|AD|＝a 2 ，则|AF|＝a 2 ，|FB|＝3a 2 ，于是|AF| |FB| ＝1 3. 三、解答题(本大题共 3 小题，共 45 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 12．(15 分)点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋6＝0 的距 离小 2. (1)求点 M 的轨迹方程； (2)若直线 y＝x－5 与(1)中的轨迹交于 A，B 两点，求线段 AB 的 长度． 解：(1)解法一：由题意可知：点 M 到点 F(4,0)的距离与它到直 线 l：x＋4＝0 的距离相等，故点 M 的轨迹是以 F 为焦点的抛物线． 由p 2 ＝4 得 p＝8，所以其轨迹方程是 y2＝16x. 解法二：设 M(x，y)，则由题意可得： x－42＋y－02＋2＝|x ＋6|，化简得轨迹方程为 y2＝16x， (2)解法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝|x1－x2| 1＋k2＝ 2|x1－x2|. 由 y2＝16x， y＝x－5， 得 x2－26x＋25＝0. 所以|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2＝ 576＝24. 于是|AB|＝ 2|x1－x2|＝24 2. 解法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y2＝16x， y＝x－5， 得 x2－26x＋25＝0， 解得 x1＝1，x2＝25. 所以 A(1，－4)，B(25,20)， 从而|AB|＝ 1－252＋－4－202＝24 2. 13．(15 分)已知抛物线 C1 的焦点与椭圆 C2：x2 6 ＋y2 5 ＝1 的右焦点 重合，抛物线 C1 的顶点在坐标原点，过点 M(4,0)的直线 l 与抛物线 C1 交于 A，B 两点． (1)写出抛物线 C1 的标准方程； (2)求△ABO 面积的最小值． 解：(1)椭圆 C2：x2 6 ＋y2 5 ＝1 的右焦点(1,0)，即为抛物线 C1 的焦点． 又抛物线 C1 的顶点在坐标原点，所以抛物线的标准方程为 y2＝ 4x. (2)当直线 AB 的斜率不存在时，直线方程为 x＝4， 此时|AB|＝8，△ABO 的面积 S＝1 2 ×8×4＝16. 当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 y＝k(x－4)(k≠0)． 由 y＝kx－4， y2＝4x， 得 ky2－4y－16k＝0，Δ＝16＋64k2>0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系， 得 y1＋y2＝4 k ，y1y2＝－16， 所以 S△ABO＝S△AOM＋S△BOM＝1 2|OM||y1－y2| ＝1 2|OM|· y1＋y22－4y1y2＝2 16 k2 ＋64>16. 综上所述，△ABO 面积的最小值为 16. 14．(15 分)已知抛物线 x2＝2py(p>0)，F 为其焦点，过点 F 的直 线 l 交抛物线于 A，B 两点，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 OA 于点 C，如图所示． (1)求点 C 的轨迹 M 的方程； (2)直线 m 是抛物线的不与 x 轴重合的切线，切点为 P，点 C 的 轨迹 M 与直线 m 交于点 Q，求证：以线段 PQ 为直径的圆过点 F. 解：(1)由题意可得，直线 l 的斜率存在，设其方程为 y＝kx＋p 2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，动点 C(x，y)， 由 x2＝2py， y＝kx＋p 2 ， 可得 x2－2pkx－p2＝0，可得 x1x2＝－p2. 因为 OA：y＝y1 x1 x＝x1 2px，CB：x＝x2， 所以由 y＝x1 2px， x＝x2 可得 y＝x1 2p·x2＝－p 2 ， 即点 C 的轨迹方程为 y＝－p 2. (2)证明：设直线 m 的方程为 y＝kx＋m， 由 x2＝2py， y＝kx＋m 得 x2－2pkx－2pm＝0，所以Δ＝4p2k2＋8pm. 因为直线 m 与抛物线相切，所以Δ＝0，即 pk2＋2m＝0， 可得 P(pk，－m)． 又由 y＝kx＋m， y＝－p 2 ， 可得 Q －p＋2m 2k ，－p 2 ， 因为FP→ ·FQ→ ＝ pk，－m－p 2 －p＋2m 2k ，－p ＝－p 2(p＋2m)＋pm ＋p2 2 ＝0， 所以 FP⊥FQ，所以以线段 PQ 为直径的圆过点 F.