2020-2021学年高三上学期月考数学试题（新疆哈密市第十五中学） 20页

哈密市第十五中学网课测验考试 数学试卷（文理）‎ 一、选择题 ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 记，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知某长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为2、3、4，则该长方体的体积为（ ）‎ A. 18 B. 24 C. 36 D. 72‎ ‎4. 已知α为锐角，，则＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）‎ A．16 B．8 C．4 D．2‎ 6. 已知函数在处的切线与直线平行，则n=( )‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，那么输出的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 设、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数，则复数的模等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列说法：‎ ‎①若mα，n∥α，则m∥n； ②若m∥α，m∥β，则α∥β；‎ ‎③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.‎ 其中正确说法的个数是(　　) ‎ A．0　　 B．1　　 　　C．2　　 　　D．3‎ ‎10. 已知是定义在上的偶函数，对任意都有，且，则的值为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎11. “表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 函数的图象大致是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13. 已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为__________.‎ ‎14. 已知向量,满足，且，则向量,的夹角为______.‎ ‎15. 已知命题p：，q：B＝{x|x﹣a＜0}，若命题p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是_____.‎ ‎16. 对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.‎ 三、解答题 ‎17. 在中，角所对的边分别为，，的面积.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）求周长的取值范围.‎ ‎18. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：‎ ‎（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；‎ ‎（2）根据所给数据，完成下面的列联表：‎ ‎（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？‎ 附：，‎ ‎19. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．‎ ‎20. 如图所示，四边形为菱形．，，，，平面．‎ ‎（1）证明：平面BCE⊥平面ABCD；‎ ‎（2）文科做：若平面平面，求实数的值.‎ ‎（2）理科做：若，求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎22、23任选一道，若都做选按照第一道题给分.‎ ‎22. 已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）．‎ ‎（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值．‎ ‎23. 如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和. （1）将y表示成x的函数；‎ ‎（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？‎ 哈密市第十五中学网课测验考试 数学试卷（文理）‎ 一、选择题 ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出N＝{﹣1，0，1}，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】.且，.‎ 故选C ‎2. 记，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】,‎ ‎,从而，‎ ‎，‎ 那么，‎ 故选B．‎ ‎3. 已知某长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为2、3、4，则该长方体的体积为（ ）‎ A. 18 B. 24 C. 36 D. 72‎ ‎【答案】B ‎4. 已知α为锐角，，则＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合同角三角函数的平方关系可得，再由诱导公式、二倍角公式可得，运算即可得解.‎ ‎【详解】因为α为锐角，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎5. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）‎ A．16 B．8 ‎ C．4 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．‎ 6. 已知函数在处的切线与直线平行，则n=( )‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得n的值，然后结合立方和公式化简所给的二项式，最后利用展开式的通项公式可得展开式中的系数.‎ ‎【详解】由函数的解析式可得：，‎ 函数在处的切线与直线平行，则，‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，那么输出的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：先根据循环语句得S变化规律（周期），再根据规律确定输出值.‎ 详解：因为所以,‎ 所以当时 选B.‎ ‎8. 设、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数，则复数的模等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【点睛】本题考查椭圆的定义与几何性质，考查正弦定理，利用正弦定理进行边角转换是解题关键．‎ ‎9. 已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列说法：‎ ‎①若mα，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若m∥α，m∥β，则α∥β；‎ ‎③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；‎ ‎④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.‎ 其中正确说法的个数是(　　)‎ A．0　　 B．1　　　　C．2　　　　D．3‎ B　[①m与n可能异面，故不正确；②α与β可能是相交平面，故不正确；③有可能mα或mβ，故不正确；④同时和一条直线垂直的两个不同平面互相平行，故正确．]‎ ‎10. 已知是定义在上的偶函数，对任意都有，且，则的值为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数是偶函数和对称性求出函数的周期，再化简计算得出的值．‎ ‎【详解】由，知为周期函数，且周期，则．‎ 故选:A ‎11. “表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件求得之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.‎ ‎【详解】若表示焦点在轴上的椭圆，则需，即，所以，‎ 所以“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是，‎ 故选：C.‎ ‎12. 函数的图象大致是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先通过特殊值排除，再根据零点存在定理，可知在时存在零点，排除，可得结果.‎ 详解】当时， 选项可排除 当时，‎ ‎ ‎ 可知，故在上存在零点，选项可排除 本题正确选项：‎ 二、填空题 ‎13. 已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎14. 已知向量,满足，且，则向量,的夹角为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，再根据平面向量的夹角公式可得结果.‎ ‎【详解】由，得，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 又因为，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律，考查了平面向量的夹角公式，属于基础题.‎ ‎15. 已知命题p：，q：B＝{x|x﹣a＜0}，若命题p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎16. 对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，当时，，由，可得，两式相减可得，‎ 整理得，由于，则数列的通项公式为，则，由于对任意的恒成立，则且，，解得.‎ 三、解答题 ‎17. 在中，角所对的边分别为，，的面积.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）求周长的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由可得到，代入，结合正弦定理可得到，再利用余弦定理可求出的值，即可求出角；（Ⅱ）由，并结合正弦定理可得到，利用，，可得到，进而可求出周长的范围．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由可知，‎ ‎∴.由正弦定理得.‎ 由余弦定理得，∴.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，.‎ 的周长为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎∵，∴，∴,‎ ‎∴的周长的取值范围为.‎ ‎18. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：‎ ‎（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；‎ ‎（2）根据所给数据，完成下面的列联表：‎ ‎（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？‎ 附：，‎ ‎【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.‎ ‎【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，‎ 所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；‎ ‎（2）由所给数据，可得列联表为：‎ 合计 ‎64‎ ‎16‎ ‎80‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎74‎ ‎26‎ ‎100‎ ‎（3）根据列联表中的数据可得 ‎，‎ 因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.‎ ‎19. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．‎ 解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，‎ 所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．‎ 又因为F(1，0)，所以kFA＝，因为MN⊥FA，所以kMN＝－.‎ 又FA的方程为y＝(x－1)，①MN的方程为y－2＝－x，②‎ 联立①②，解得x＝，y＝，所以点N的坐标为.‎ ‎20. 如图所示，四边形为菱形．，，，，平面．‎ ‎（1）证明：平面BCE⊥平面ABCD；‎ ‎（2）文科做：若平面平面，求实数的值.‎ ‎（2）理科做：若，求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（2）文科；（2）理科．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：（2）文科：因为四边形为菱形，，平面，‎ 所以．取的中点为，连接，．‎ 由平面平面，得．‎ 又，则．‎ 因为，，所以，．‎ 因为，的中点为，所以，所以．‎ 又因为，所以，解得，所以．‎ ‎（2）理科：设交于点为，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系如图，‎ 则，，，．‎ 所以，．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则所以解得．‎ 令，则，所以，‎ 同理可求得平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 所以平面与平面所成二面角正弦值的大小为．‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）．‎ ‎【详解】解：（1）当时，，则．‎ 令，即，解得或．‎ 令，则；令，则或，‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．‎ 所以的极大值为，极小值为．‎ ‎（2）因为当时，恒成立，‎ 即恒成立．‎ 等价于当时，恒成立．‎ 令，则，‎ 当时，，‎ 所以在上为单调递增函数．‎ 所以对有，满足题意；‎ 当时，令，‎ 所以，‎ 所以在上为单调递增函数．‎ 即在上为单调递增函数，‎ 所以．‎ ‎（i）当时，，所以，‎ 所以在上为单调递增函数．即，满足题意．‎ ‎（ii）当时，，，‎ 所以在有唯一零点，设为，‎ 所以当时，，在时，，‎ 所以在上为单调递减，在上单调递增．‎ 所以时，，‎ 所以不满足题意．‎ 综上，当时，恒成立，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在研究函数时的应用，关键在于构造合适的函数，分析导函数的取得正负的区间，得原函数的单调性，属于难题.‎ ‎22. 已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）．‎ ‎（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）为圆心是（，半径是1的圆.为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 详解】（1）‎ 为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.‎ ‎（2）当时，，故 的普通方程为，到的距离 所以当时，取得最小值.‎ 考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.‎ ‎23. 如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和. （1）将y表示成x的函数；‎ ‎（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）依题意，x满足 ‎{‎ 解不等式组，其解集为[9,23]‎ 所以