高二数学教案：第8讲 双曲线（二） 12页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 双曲线（二）‎ 教学内容 ‎1. 掌握直线与双曲线的位置关系，并能够应用韦达定理解题；‎ ‎2. 会应用双曲线性质解决综合题目。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 直线与双曲线的位置关系有哪些？如果直线与双曲线只有一个公共点，能否说明D=0？‎ 有相交，相切，相离三种位置关系，但是有一个公共点并不一定是D=0，还可能是平行于渐近线的直线与双曲线相交，此时也只有一个交点。下面的四种情况可以让学生了解。‎ 过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：‎ ‎①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线共四条；‎ ‎②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；‎ ‎③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；‎ ‎④P为原点时不存在这样的直线 ‎2. 练习 已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为 ‎，原点到直线的距离是 ‎（1）求双曲线的方程； ‎ ‎ （2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由 解：（1）∵‎ 原点到直线AB：的距离，‎ ‎ 故所求双曲线方程为 　 ‎ ‎（2）把中消去y，整理得 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 设，则 ‎ 因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以 可得 把代入，‎ 解得：‎ 解，得，满足，‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 已知双曲线C：的一个焦点是，且。‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）设经过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线C的右支相交于不同的两点时，求实数的取值范围；并证明中点在曲线上。‎ ‎【解析】：（1） ‎ ‎ 。‎ ‎（2） 由得 由 得 ，， ‎ ‎ ‎ 设，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 。 ‎ 试一试：给定双曲线，过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在说明理由。‎ ‎【答案】：假设所求的直线m存在，其方程为y=k（x-1）+1代入双曲线方程整理得： ① ‎ ‎ 设Q1(x1y1),Q2(x2y2),则 必是方程①的两根 即 ‎ 若B是Q1、Q2的中点，就有，而 ∴应有 ‎∴ k应满足 ②‎ ‎ ③‎ 由③k=2代入②得，－8＜0，即k=2不满足 ‎ ∴①无解，故这样的直线M不存在。‎ 例2. 已知点，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）过圆上任意一点做切线交双曲线于，两个不同的点，中点为，‎ 求证：；‎ ‎（3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是，，求的值．‎ ‎【解析】（1）设，的坐标分别为 ‎ ‎ 因为点在双曲线上，所以，即，所以 ‎ 在△中，，，所以 ‎ 由双曲线的定义可知：‎ ‎ 故双曲线的方程为： ‎ ‎（2）①当切线的斜率存在 设，，切线的方程为： ‎ 代入双曲线中，化简得： ‎ 所以 ‎ 因为直线与圆相切，所以，代入上式，得 ‎ 设点的坐标为，则，‎ 所以 ‎ 即成立 ‎②当切线的斜率不存在时，，或，‎ 此时，，即成立 ‎ ‎（3）由条件可知：两条渐近线分别为：； ‎ 设双曲线上的点，‎ 则点到两条渐近线的距离分别为， ‎ 所以 ‎ 因为在双曲线：上，所以 故 ‎ 设和的夹角为，则 ‎ 所以 ‎ ‎【点评】：熟练应用韦达定理、弦长公式。‎ 试一试：已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积。‎ 解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知，故曲线的方程为，设，由题意建立方程组，‎ 消去，得，又已知直线与双曲线左支交于两点，有 ‎ ，解得，‎ 又∵ ‎ ‎，依题意得 ，‎ 整理后得 ，∴或 但，∴，‎ 故直线的方程为，设，由已知，‎ 得，∴，，‎ 又，，∴点 将点的坐标代入曲线的方程，得，得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴，点的坐标为，到的距离为 ，∴的面积。‎ 例3. 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．‎ ‎（1）解：设双曲线的方程为（）．由题设得 ‎，解得，所以双曲线方程为．‎ ‎（2）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得．‎ 此方程有两个一等实根，于是，且．‎ 整理得．　③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎，．‎ 从而线段的垂直平分线方程为．‎ 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．‎ 由题设可得．整理得，．‎ 将上式代入③式得，整理得，．‎ 解得或．‎ 所以的取值范围是．‎ 例4. 双曲线上一点到左，右两焦点距离的差为2．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）设是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，‎ 求的面积；‎ ‎（3）过作直线交双曲线于两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎（1）‎ ‎（2）妨设在第一象限，则 ‎（3）若直线斜率存在，设为，代入 得 若平行四边形为矩形，则 无解 若直线垂直轴，则不满足．‎ 故不存在直线，使为矩形．‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ 1. 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足 ‎（1）求点P(x,y)的轨迹E的方程. ‎ ‎（2）若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于两点．点,无论直线绕点怎样转动， 是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．并求实数的取值范围；‎ 解：（1）方程为， ‎ ‎（2）设直线的方程为或 由得 设 由条件得 解得即 ‎==0‎ ‎2. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．‎ ‎（1）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：由条件知，，设，．‎ 解法一：（1）设，则则，，‎ ‎，由得 即于是的中点坐标为．‎ 当不与轴垂直时，，即．‎ 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ‎，即．‎ 将代入上式，化简得．‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．‎ 所以点的轨迹方程是．‎ ‎（2）假设在轴上存在定点，使为常数．‎ 当不与轴垂直时，设直线的方程是．‎ 代入有．‎ 则是上述方程的两个实根，所以，，‎ 于是 ‎．‎ 因为是与无关的常数，所以，即，此时=．‎ 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，‎ 此时．‎ 故在轴上存在定点，使为常数．‎ ‎3. 已知点，动点满足条件，记动点的轨迹为。‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过作直线交曲线于两点，使得2，求直线的方程。‎ ‎（3）若从动点向圆：作两条切线，切点为、，令|PC|=d,‎ 试用d来表示，并求的取值范围。‎ 解：（1）由，知点的轨迹是以为焦点，‎ 实轴长为的双曲线。‎ 即设 所以所求的的方程为 ‎ ‎（2）若k不存在，即x=2时,可得A(2,)，B(2,-),|AB|=2满足题意； ‎ 若k存在，可设l:y=k(x-2)‎ 联立，‎ 由题意知且 ‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=‎ 即 =2 k=0 即l：y=0 ‎ 所以直线l的方程为 x=0或y=0 ‎ ‎（3） ‎ 又 则----- ‎ 在是增函数， ‎ 则所求的的范围为。‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点：直线与双曲线综位置关系，双曲线性质综合 ‎【巩固练习】‎ ‎1. 已知双曲线的方程为 ‎（1）求以（2，1）为中点的弦所在直线的方程；‎ ‎（2）以点（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ 解：（1）设是弦的两个端点，则有 两式相减得 ①‎ ‎∵A（2，1）为弦的中点，∴， 代入①得 ‎ ∴.故直线的方程为 ‎（2）假设满足条件的直线存在，同（1）可求 由得 ∵△=‎ ‎∴所求直线与双曲线无交点. ∴以B(1,1)为中点的弦不存在.‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. 对比椭圆与双曲线的性质，你能发现他们哪些性质相近，而哪些性质又完全不同？‎ ‎2. 讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．‎