高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-3-2-1　基本不等式 35页

第 1 课时　基本不等式 必备知识 · 自主学习 1. 重要不等式 对任意实数 x 和 y,__________ ( 当且仅当 x=y 时 , 等号成立 ). 2. 基本不等式 (1) 公式 :① 条件 :a≥0,b≥0;② 结论 :__________;③ 等号成立 : 当且仅当 ____ 时 . (2) 本质 : 基本不等式表明 , 两个非负实数的算术平均值 ___________ 它们 的几何平均值 . a=b 大于或等于 【 思考 】 基本不等式成立的条件能省略吗 ? 为什么 ? 提示 : 基本不等式成立的条件“ a≥0,b≥0” 不能省略 , 例如 是不成立的 . 3. 用基本不等式求最值的结论 已知 x,y 均为正数 , (1) 若 x+y=s(s 为定值 ), 则当且仅当 x=y 时 ,xy 取得最 ___ 值 ____; (2) 若 xy=p(p 为定值 ), 则当且仅当 x=y 时 ,x+y 取得最 ___ 值 _____. (3) 应用 : 求和式的最小值 , 乘积式的最大值 . 大 小 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 对任意 a,b∈R,a 2 +b 2 ≥2ab,a+b≥2 均成立 . ( 　　 ) (2) 若 a≠0, 则 =4. ( 　　 ) (3) 若 a>0,b>0, 则 ab≤ . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 任意 a,b∈R, 有 a 2 +b 2 ≥2ab 成立 , 当 a,b 都为正数时 , 不等式 a+b≥ 2 成立 . (2)×. 只有当 a>0 时 , 根据基本不等式 , 才有不等式 =4 成立 . (3)√. 因为 , 所以 ab≤ . 2. 不等式 (x-2y)+ ≥2 成立的前提条件为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y 【 解析 】 选 B. 因为不等式成立的前提条件是各项均为正 , 所以 x-2y>0, 即 x>2y. 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 设 x,y 满足 x+y=40, 且 x,y 都是正数 , 则 xy 的最大值 为 　　　　 .  【 解析 】 因为 x,y 都是正数 , 且 x+y=40, 所以 xy≤ =400, 当且仅当 x=y=20 时取等号 . 答案 : 400 关键能力 · 合作学习 类型一　利用基本不等式比较大小 ( 逻辑推理 ) 【 题组训练 】 1. 已知 m=a-2+ (a>2),n=2-b 2 (b≠0), 则 m,n 之间的大小关系是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.m>n B.m0 且 a≠1, 又 M= , 则 M,N,P 的大小关系是 　　　　 .  【 解析 】 1. 选 A. 因为 a>2, 所以 a-2>0. 又因为 m=(a-2)+ , 所以 m≥ =2, 当且仅当 a-2= , 即 a=3 时 取 “ = ” . 由 b≠0, 得 b 2 ≠0, 所以 n=2-b 2 <2, 综上可知 m>n. 2. 选 B. 因为 00 且 a≠1, 所以 , 所以 所以 , 所以 即 P0,b>0, 同时注意能否取等号 . 【 补偿训练 】 若 a,b∈R, 且 ab>0, 则下列不等式中 , 恒成立的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a 2 +b 2 >2ab B.a+b≥2 C. D. 【 解析 】 选 D. 对于 A 项 , 当 a=b 时 , 应有 a 2 +b 2 =2ab, 所以 A 项错 ; 对于 B,C, 条件 ab>0, 只能说明 a,b 同号 , 当 a,b 都小于 0 时 ,B,C 错误 ; 对于 D 项 , 因为 ab>0, 所以 所以 , 当且仅当 a=b 时取等号 . 类型二　利用基本不等式求简单问题的最值 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 1. 当 x>1 时 ,(x-1)+ +2 的最小值为 　　　 .  2. 若 x>0,y>0, 且 x+y=18, 则 xy 的最大值是 　　　 .  3. 已知 x<0, 则 3x+ 的最大值为 　　　　 .  【 思路导引 】 1. 利用基本不等式求“和的最小值” . 2. 利用基本不等式求积的最大值 . 3. 当项为负数时 , 可以通过提取负号化为正数 . 【 解析 】 1. 令 t=(x-1)+ +2, 因为 x-1>0, 所以 t≥ +2=8, 当且仅当 x-1= , 即 x=4 时 ,t 的最小 值为 8. 答案 : 8 2. 由于 x>0,y>0, 则 x+y≥2 , 所以 xy≤ =81, 当且仅当 x=y=9 时 ,xy 取到 最大值 81. 答案 : 81 3. 因为 x<0, 所以 -x>0. 则 当且仅当 =-3x, 即 x=-2 时 , 3x+ 取得最大值为 -12. 答案 : -12 【 解题策略 】 基本不等式的使用条件 (1) 一正 :a>0,b>0, 即 : 所求最值的各项必须都是正值 ; (2) 二定 :ab 或 a+b 为定值 , 即 : 含变量的各项的和或积必须是常数 ; (3) 三相等 : 当且仅当 a=b 时取等号 ; 即 : 等号能否取得 . 在应用基本不等式求最值时 , 要逐一验证三个条件是否成立 . 【 跟踪训练 】 1. 式子 的最小值为 ( 　　 ) A.3 B.4 C.6 D.8 【 解析 】 选 B. =|x|+ ≥2 =4, 当且仅当 x=±2 时 , 等号成立 . 2. 已知 m=x+ -2(x<0), 则 m 有 ( 　　 ) A. 最大值为 0 B. 最小值为 0 C. 最大值为 -4 D. 最小值为 -4 【 解析 】 选 C. 因为 x<0, 所以 m=- -2 ≤-2-2=-4, 当且仅当 -x= , 即 x=-1 时取等号 . 类型三　拼凑法利用基本不等式求最值 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 1. 已知 01 时 , 不等式 x+ ≥a 恒成立 , 则实数 a 的最大值为 　　　　 .  【 思路导引 】 通过凑项或凑系数的方法把“不定”问题进行转化 , 再用基本不等式求解 . 【 解析 】 1. 选 B. 因为 00. 所以 x(3-3x)=3x(1-x)≤ 当 x=1-x, 即 x= 时取等号 . 2. 因为 x< , 所以 5-4x>0, 令 y=4x-2+ , 所以 y=4x-2+ =- +3≤-2+3=1, 当且仅当 5-4x= , 即 x=1 时 , 上式等号成立 , 故当 x=1 时 ,y max =1. 答案 : 1 3. 因为 x>1, 所以 x-1>0. 又 x+ =x-1+ +1≥2+1=3, 当且仅当 x=2 时等号成立 , 则 a≤3, 所以 a 的最 大值为 3. 答案 : 3 【 解题策略 】 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形 , 拼系数、凑常数是关键 , 利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题 : (1) 拼凑的技巧 , 以整式为基础 , 注意利用系数的变化以及等式中常数的调整 , 做到等价变形 . (2) 代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标 . (3) 拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 . 【 跟踪训练 】 1. 若 00, 即 x>1 时 ,y= , 因为 t+ =4( 当且仅当 t=2 时取等号 ), 所以 y= 即 y 的最大值为 ( 当 t=2, 即 x=5 时 y 取得最大值 ). 答案 : 课堂检测 · 素养达标 1. 已知 ab=4,a>0,b>0, 则 a+b 的最小值为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.4 D.8 【 解析 】 选 C. 因为 a>0,b>0, 所以 a+b≥2 =4, 当且仅当 a=b=2 时取等号 , 故 a+b 的最小值为 4. 2. 若 x 2 +y 2 =2, 则 xy 的最大值是 ( 　　 ) A. B.1 C.2 D.4 【 解析 】 选 B.xy≤ =1, 当且仅当 x=y 时取“ =”. 3. 设 a>b>0, 则下列不等式中一定成立的是 ( 　　 ) A.a-b<0 B.0< <1 C. D.ab>a+b 【 解析 】 选 C. 因为 a>b>0, 由基本不等式知 一定成立 . 4. 若 00, 故 = 当且仅当 x= 时 , 上式等号成立 . 所以 0< ≤ . 答案 : 0< ≤ 5.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 已知 a,b 是不相等的正数 ,x= 则 x,y 的大小关系为 　　　　 .  【 解析 】 因为 a,b 是不相等的正数 , 所以 又 x>0,y>0, 所以 x