高考数学复习 17-18版 第5章 第25课 三角函数的图象与性质 15页

第25课 三角函数的图象与性质 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 正弦函数、余弦函数、‎ 正切函数的图象与性质 ‎√‎ ‎1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．‎ 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．‎ ‎2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ R 单调性 递增区间：‎ k∈Z，‎ 递减区间：‎ 递增区间：‎ ‎[2kπ－π，2kπ]‎ k∈Z，‎ 递减区间：‎ ‎[2kπ，2kπ＋π]‎ 递增区间 ‎(k∈Z)‎ k∈Z k∈Z 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 ‎(kπ，0)k∈Z 对称中心 k∈Z 对称中心 k∈Z 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z)‎ 对称轴 x＝kπ(k∈Z)‎ 周期性 ‎2π ‎2π π ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝acos x的值域为[－a，a]．(　　)‎ ‎(2)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．(　　)‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)‎ ‎(4)y＝sin |x|是周期函数．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．函数y＝tan 2x的定义域是________．‎ 　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，‎ ‎∴y＝tan 2x的定义域为.]‎ ‎3．(教材改编)函数f(x)＝4－2cos x的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________．‎ ‎2　{x|x＝6kπ，k∈Z}　[f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]‎ ‎4．函数f(x)＝cos的图象关于________．(填序号)‎ ‎①原点对称；　　　　　　 ②y轴对称；‎ ‎③直线x＝对称； ④直线x＝－对称．‎ ‎①　[函数f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函数，则图象关于原点对称．]‎ ‎5．函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是________．‎ 　[z＝x＋，函数y＝sin z的单调递增区间为(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是.]‎ 三角函数的定义域与值域 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ改编)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为________．‎ ‎(2)函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．‎ ‎(1)5　(2)∪　[(1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x ‎＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，‎ 又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.‎ ‎(2)由得 ‎∴－3≤x＜－或0＜x＜，‎ ‎∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪.]‎ ‎[规律方法]　1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．‎ ‎2．求三角函数最值或值域的常用方法 ‎(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．‎ ‎(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．‎ ‎(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是________．‎ ‎(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值. 【导学号：62172138】‎ ‎(1)3　[∵x∈，∴cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2,1]，‎ ‎∴b－a＝3.]‎ ‎(2)令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈，‎ ‎∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，‎ ‎∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝，‎ ‎∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.‎ 三角函数的单调性 ‎　(1)(2017·苏州模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．‎ ‎(2)函数f(x)＝sin的单调减区间为________．‎ ‎(1)　(2)(k∈Z)　[(1)由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知⊆，‎ 所以解得≤ω≤.‎ ‎(2)由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间即可．‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所求函数的单调减区间为(k∈Z)．]‎ ‎[规律方法]　1.求三角函数单调区间的两种方法 ‎(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．‎ ‎(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错．‎ ‎2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．‎ ‎[变式训练2]　(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________．‎ ‎(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.‎ ‎(1)(k∈Z)　(2)　[(1)由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，‎ 得－＜x＜＋(k∈Z)．‎ ‎(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，‎ ‎∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；‎ 当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．‎ 由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，‎ 在上单调递减知，＝，∴ω＝.]‎ 三角函数的奇偶性、‎ 周期性、对称性 角度1　奇偶性与周期性的判断 ‎　(1)在函数：①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos2x＋；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为________．(填序号)‎ ‎(2)函数y＝1－2sin2是________函数．(填奇偶性)‎ ‎(1)①②③　(2)奇　[(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.‎ ‎②由图象知，函数的周期T＝π.‎ ‎③T＝π.‎ ‎④T＝.‎ 综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.‎ ‎(2)y＝1－2sin2＝cos 2＝－sin 2x，所以f(x)是奇函数．]‎ 角度2　求三角函数的对称轴、对称中心 ‎　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则下列是f(x)图象的一个对称中心的坐标是________．(填序号) 【导学号：62172139】‎ ‎①；②；③；④.‎ ‎①　[由f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，‎ 即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|＜，‎ 得φ＝，故f(x)＝sin.‎ 令x＋＝kπ(k∈Z)，‎ 得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为.]‎ 角度3　三角函数对称性的应用 ‎　(1)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，则实数a的值为________．‎ ‎(1)　(2)－　[(1)由题意得3cos ‎＝3cos＝3cos＝0，‎ ‎∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.‎ ‎(2)由x＝是f(x)图象的对称轴，‎ 可得f(0)＝f，‎ 即sin 0＋acos 0＝sin＋acos，‎ 解得a＝－.]‎ ‎[规律方法]　1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎2．求三角函数周期的方法：‎ ‎(1)利用周期函数的定义．‎ ‎(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.‎ ‎(3)借助函数的图象．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，再用换元法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．‎ ‎2．求三角函数值域(最值)的常用方法：‎ ‎(1)将函数变形化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．‎ ‎(2)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．‎ ‎3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则 ‎(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．‎ ‎2．求y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间．‎ ‎3．利用换元法求三角函数最值时，注意cos x(或sin x)的有界性．‎ ‎4．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．‎ 课时分层训练(二十五)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．函数y＝的定义域为________．‎ (k∈Z)　[由cos x－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f＝________.‎ ‎1　[由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin，所以f＝sin ‎＝sin ＝1.]‎ ‎3．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________. ‎ ‎【导学号：62172140】‎ ，k∈Z　[由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)，‎ ‎∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z.]‎ ‎4．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________．‎ (k∈Z)　[由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x,2kπ＋≤2x≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．]‎ ‎5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．‎ ‎2或－2　[∵f＝f，‎ ‎∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴，‎ ‎∴f＝±2.]‎ ‎6．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是________．(填序号) 【导学号：62172141】‎ ‎①y＝cos ；‎ ‎②y＝sin ；‎ ‎③y＝sin 2x＋cos 2x；‎ ‎④y＝sin x＋cos x.‎ ‎①　[y＝cos ＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故①正确；‎ y＝sin ＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故②不正确；‎ ‎③，④均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故③，④不正确．]‎ ‎7．若函数y＝cos(ω∈N＋)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．‎ ‎2　[由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N＋，∴ωmin＝2.]‎ ‎8．若函数f(x)＝sin－cos ωx(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则下列是f(x)的一个单调递增区间的是________．(填序号)‎ ‎①；②；③；④.‎ ‎①　[依题意得f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin的图象相邻两个对称中心之间的距离为，于是有T＝＝2×＝π，ω＝2，f(x)＝sin.当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，f(x)＝sin单调递增．因此结合各选项知f(x)＝sin的一个单调递增区间为.]‎ ‎9．函数y＝cos 2x＋sin2x，x∈R的值域是________．‎ ‎[0,1]　[因为y＝cos 2x＋sin2x ‎＝1－2sin2x＋sin2x ‎＝1－sin2x.‎ 又sin2x∈[0,1]，所以1－sin2x∈[0,1]．‎ 故y∈[0,1]．]‎ ‎10．(2017·如皋中学高三第一次月考)已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝sin，直线x＝m与f(x)、g(x)的图象分别交于M、N两点，则MN 的最大值是________．‎ 　[∵g(x)＝sin＝cos x，‎ 由题意可知MN＝|sin x－cos x|＝.‎ ‎∵x∈R，∴|f(x)－g(x)|∈[0，]．‎ 故M，N的距离的最大值为.]‎ 二、解答题 ‎11．(2016·北京高考)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝.‎ 依题意，得＝π，解得ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin.‎ 函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)．‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 【导学号：62172142】‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin x·cos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.‎ 当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin x在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.‎ 综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．‎ 　[由题意cos ＝sin，‎ 即sin＝，＋φ＝kπ＋(－1)k·(k∈Z)．因为0≤φ＜π，所以φ＝.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．‎ 　[依题意得ω＝2，所以f(x)＝3sin.‎ 因为x∈，所以2x－∈，‎ 所以sin∈，‎ 所以f(x)∈.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；‎ ‎(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．‎ ‎[解]　∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2，‎ ‎∴f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴sin(－2x＋φ)＝sin(2x＋φ)，‎ 将上式展开整理得sin 2xcos φ＝0，‎ 由已知上式对∀x∈R都成立，‎ ‎∴cos φ＝0.∵0＜φ＜，∴φ＝.‎ ‎(2)∵f(x)的图象过点时，sin＝，‎ 即sin＝.‎ 又∵0＜φ＜，∴＜＋φ＜π，‎ ‎∴＋φ＝，φ＝，‎ ‎∴f(x)＝sin.‎ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎4．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x ‎＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ，‎ 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1.‎ 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．‎ 又ω∈，k∈Z，所以ω＝.‎ 所以f(x)的最小正周期是.‎ ‎(2)由y＝f(x) 的图象过点，‎ 得f＝0，‎ 即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.‎ 故f(x)＝2sin－，函数f(x)的值域为[－2－，2－]．‎