2021高考数学新高考版一轮习题：专题2 第13练 函数性质的应用 Word版含解析 6页

‎1．(2020·黑龙江哈尔滨市第六中学月考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)‎ A．y＝x3 B．y＝ln C．y＝|sin x| D．y＝2|x|‎ ‎2．函数f (x)＝在R上是减函数，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．已知函数f (x)在R上单调递减，且当x∈[－2,1]时，f (x)＝x2－2x－4，则关于x的不等式f (x)<－1的解集为(　　)‎ A．(－1，＋∞) B．(－∞，3)‎ C．(－1,3) D．(－∞，－1)‎ ‎4．(2020·日照模拟)若函数f (x)满足：存在非零常数a，使f (x)＝－f (2a－x)，则称f (x)为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是(　　)‎ A．f (x)＝x2 B．f (x)＝(x－1)3‎ C．f (x)＝ex－1 D．f (x)＝x3‎ ‎5．定义在R上的函数y＝f (x)满足以下三个条件：‎ ‎①对于任意的x∈R，都有f (x＋1)＝f (x－1)；‎ ‎②函数y＝f (x＋1)的图象关于y轴对称；‎ ‎③对于任意的x1，x2∈[0,1]，x1≠x2，都有[f (x1)－f (x2)]·(x1－x2)>0，‎ 则f ，f (2)，f (3)的大小关系是(　　)‎ A．f >f (2)>f (3) B．f (3)>f (2)>f  C．f >f (3)>f (2) D．f (3)>f >f (2)‎ ‎6．(2020·大连模拟)定义在R上的偶函数f (x)，当x1，x2≤0，x1≠x2时，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0，且f (－1)＝0，则不等式xf (x)<0的解集是(　　)‎ A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ ‎7．(多选)下列函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)‎ A．f (x)＝x2－|x| B．f (x)＝ C．f (x)＝ln|x|－ D．f (x)＝e|x|‎ ‎8．(多选)已知定义域为(－∞，＋∞)的偶函数f (x)的一个单调递增区间是(2,6)，关于函数y＝f (2－x)的下列说法中正确的是(　　)‎ A．一个递减区间是(4,8)‎ B．一个递增区间是(4,8)‎ C．其图象对称轴方程为x＝2‎ D．其图象对称轴方程为x＝－2‎ ‎9．(2019·四川三台实验中学月考)已知f (x)＝x3＋3x，x∈R，且f (a－2)＋f (a2)<0，则实数a的取值范围是________．‎ ‎10．已知f (x)是定义在R上的奇函数，满足f (1－x)＝f (1＋x)．若f (1)＝2，则f (3)＝________，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 021)＝________.‎ ‎11．已知函数f (x)的定义域为R，且对任意x1，x2∈R都有f (x1＋x2)＝100f (x1)f (x2)，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．f (x)是偶函数 B．f (x)是周期函数 C．存在常数k，对任意x∈R，都有f (x＋1)＝kf (x)‎ D．对任意m∈R，存在x0∈R，使得f (x0)＝m ‎12．(2020·珠海第二中学月考)已知函数f (x)为R上的奇函数，且图象关于点(3,0)对称，且当x∈(0,3)时，f (x)＝x－1，则函数f (x)在区间[2 019,2 024]上的(　　)‎ A．最小值为－ B．最小值为－ C．最大值为0 D．最大值为 ‎13．定义在R上的函数f (x)同时满足：①对任意的x∈R都有f (x＋1)＝f (x)；②当x∈(1,2]时，f (x)＝2－x.若函数g(x)＝f (x)－logax(a>0且a≠1)恰有3个零点，则a的取值范围是(　　)‎ A. B．(1,2] C．(2,3] D．(3,4]‎ ‎14．已知定义在R上的奇函数f (x)在[0，＋∞)上是减函数，且对于任意的θ∈[0，π]都有f (sin2θ－msin θ)＋f (2m－3)<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．m>2 B．m<2 C．m≥2 D．m≤2‎ ‎15．若函数f (x)同时满足：‎ ‎(1)对于定义域上的任意x恒有f (x)＋f (－x)＝0；‎ ‎(2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f (x)为“理想函数”．‎ 给出下列四个函数：①f (x)＝； ②f (x)＝x； ‎ ‎③f (x)＝log2；④f (x)＝ 能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)‎ ‎16．(2020·石家庄月考)某同学在研究函数f (x)＝(x∈R)时，给出下列结论：①f (－x)＋f (x)＝0对任意x∈R成立；②函数f (x)的值域是(－2,2)；③若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；④函数g(x)＝f (x)－2x在R上有三个零点．则正确结论的序号是______．‎ 答案精析 ‎1．B　2.B　3.A　4.B　5.D　6.C　7.CD　8．BC　9.(－2,1)　10.－2　2　11.C ‎12．A　[∵函数f (x)的图象关于点(3,0)对称，‎ ‎∴f (6＋x)＝－f (－x)．‎ 又函数f (x)为奇函数，‎ ‎∴f (6＋x)＝f (x)，‎ ‎∴函数f (x)是周期为6的周期函数，‎ 又函数f (x)的定义域为R，且为奇函数，‎ 故f (0)＝0，f (－3)＝f (3)＝0，‎ 依次类推，f (3n)＝0(n∈Z)．‎ 作出函数的大致图象，如图所示．‎ 根据周期性可知，函数f (x)在区间[2 019，2 024]上的图象与在区间[－3,2]上的图象完全一样，可知函数f (x)在(－3，2]上单调递减，且f (－3)＝0，‎ ‎∴函数f (x)在区间[2 019,2 024]上的最小值为f (2 024)＝f (2)＝－.]‎ ‎13．C　[由题意得方程f (x)＝logax(a>0且a≠1)有三个解，‎ ‎∴函数y＝f (x)和y＝logax的图象有三个交点．‎ ‎∵对任意的x∈R都有f (x＋1)＝f (x)，‎ ‎∴函数y＝f (x)是周期为1的函数．‎ 又当x∈(1,2]时，f (x)＝2－x，‎ 画出函数y＝f (x)的图象，如图所示．‎ 结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，‎ 则需满足解得2－2m＋3，‎ 即m>对任意的θ∈[0，π]恒成立．‎ 记2－sin θ＝t，t∈[1,2]，‎ 则sin θ＝2－t，‎ ‎∴m>＝－＋4.‎ ‎∵t＋≥2，当且仅当t＝1时取等号，‎ ‎∴－＋4的最大值为2，∴m>2.]‎ ‎15．③④‎ 解析　由题意可得f (x)为定义域上的奇函数和减函数，可得f (x)为“理想函数”，‎ 由①f (x)＝为{x|x≠0}上的奇函数，在x>0，x<0上函数分别单调递减，不为“理想函数”；‎ 由②f (x)＝x，可得f (－x)＝f (x)，‎ 即f (x)为偶函数，不为“理想函数”；‎ 由③f (x)＝log2(－10时，f (x)＝∈(0,2)，‎ 由①可知当x<0时，f (x)∈(－2,0)，‎ 当x＝0时，f (0)＝0，所以函数f (x)的值域是(－2,2)，正确；‎ ‎③当x>0时，f (x)＝，‎ 由反比例函数的单调性可知，f (x)在(0，＋∞)上是增函数，‎ 由①可知f (x)在(－∞，0)上也是增函数，‎ 所以若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)，正确；‎ ‎④由③可知f (x)的图象与函数y＝2x的图象只有一个交点，故错误．‎ 综上，正确结论的序号是①②③.‎