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闽粤赣三省十二校2020届高三下学期联考数学(理)试题

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第 1 页 共 5 页 2020 届“三省十二校”联考 数学(理科)试题 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合  2 2 0A x R x x     ,  1,0,1B ,则 A B  ( ) A.  1,0,1 B. 1,0 C. 0,1 D. 0 2.已知  izi 43   为虚数单位i ,则复数 z 在复平面上所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 4log 0.4m  , 0.44n  , 0.50.4p  ,则( ) .A m n p  .B m p n  .C p m n  .D n p m  4.如图, 为等腰直角三角形, , 为斜边 的高, 为线段 的中 点,则 ( ) A. B. C. D. 5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网 行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形 图,则下列结论中不一定正确的是( ) 注:90 后指 1990 年及以后出生,80 后指 1980—1989 年之间出生,80 前指 1979 年及以前 出生. A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 2020.2.19 ((考试时间:150 分钟总分:150 分) 第 2 页 共 5 页 6.已知 , ,A B C 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    上的三个点, AB 经过原点O , AC 经过右 焦点 F ,若 BF AC 且 2 AF CF ,则该双曲线的离心率是( ) A. 3 5 B. 3 17 C. 2 17 D. 4 9 7.函数 2 2( ) logf x x x  ,则不等式 0)3()1(  fxf 的解集为( ) ),4()1,.( A ),1()4,.( B )2,1()1,4.( C )4,1()1,1.( D 8.已知函数    2sin 0, 2f x x           的两条相邻对称轴的距离为 2  ,把  f x 的图象向右平移 6  个单位得函数  g x 的图象,且  g x 为偶函数,则  f x 的单调增 区间为( ) A. 42 ,2 ,3 3k k k Z        B. 4, ,3 3k k k Z        C. 2 ,2 ,6 3k k k Z        D. , ,6 3k k k Z        9.已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C ,的各顶点都在球 O 的球面上,且 32,2  BCACAB , 若球 O 的体积为 3 5160 ,则这个直三棱柱的体积等于( ) A. 24 B. 38 C. 8 D. 54 10.在 ABC 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , , ,a b c S 为 ABC 的面积,  sin A C  2 2 2S b c ,且 , ,A B C 成等差数列,则C 的大小为( ) A. 3  B. 3 2 C. 6  D. 6 5 11.已知函数 2 , 0( ) e , 0x x xf x x    , ( ) exg x  (e 是自然对数的底数),若关于 x 的方程 ( ( )) 0g f x m  恰有两个不等实根 1x 、 2x ,且 1 2x x ,则 2 1x x 的最小值为( ) 第 3 页 共 5 页 A. 1 (1 ln 2)2  B. 1 ln22  C.1 ln 2 D. 1 (1 ln 2)2  12..设 M , N 是抛物线 2y x 上的两个不同的点,O 是坐标原点,若直线OM 与ON 的 斜率之积为 1 2 ,则( ) A.| | | | 4 2OM ON  B.以 MN 为直径的圆的面积大于 4 C.直线 MN 过抛物线 2y x 的焦点 D.O 到直线 MN 的距离不大于 2 第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在横 线上。 13.已知 1 12 1 1 2 32 2        , , , ,,, ,若幂函数   af x x 为奇函数,且在 0  , 上递 减,则 a ____. 14. 函数 ( ) cosxf x e x 的图象在点(0, (0))f 处的切线的倾斜角为____. 15. 有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅游, 假设 每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游, 则恰有一个地方未被选中的概率为 _______ 16.如图,三棱锥 A-BCD 中,AC=AD=BC=BD=10,AB =8,CD=12,点 P 在侧面 ACD 上,且到直线 AB 的距离为 21 , 则 PB 的最大值是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤,解答应写在答题卡上的指定区域内。 17.已知公差不为 0 的等差数列 }{ na 满足 93 a , 2a 是 71,aa 的等比中项. (1)求数列 }{ na 的通项公式; (2)数列 }{ nb 满足 )7( 1  n n anb ,求数列 }{ nb 的前 n 项的 nS . 18.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 1 PA AB , 2PB PD  . 第 4 页 共 5 页 (1)证明: BD  平面 PAC ; (2)若 E 是 PC 的中点,F 是棱 PD 上一点,且 / /BE 平面 ACF ,求二面角 F AC D  的余弦值. 19. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)5 x yC bb b   的一个焦点坐标为(2,0) . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)已知点 (3,0)E ,过点(1,0) 的直线l (与 x 轴不重合)与椭圆C 交于 ,M N 两点,直 线 ME 与直线 5x  相交于点 F ,试证明:直线 FN 与 x 轴平行. 20.一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一 块地的 *( )n n N 个坑进行播种,每个坑播 3 粒种子,每粒种子发芽的概率均为 1 2 ,且每粒 种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种, 否则要补播种. (1)当 n 取何值时,有 3 个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少? (2)当 4n  时,用 X 表示要补播种的坑的个数,求 X 的分布列与数学期望. 21.(本小题 12 分) 已知函数 1( ) sin ln 12 2 mf x x x x    , ( )f x 是 ( )f x 的导函数. (1)证明:当 2m  时, ( )f x 在(0, ) 上有唯一零点; (2)若存在 1 2, (0, )x x   ,且 1 2x x 时,    1 2f x f x ,证明: 2 1 2x x m . 第 5 页 共 5 页 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请写清题 号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 6cos  .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建 立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 2 cos 1 sin x t y t         (t 为参数). (Ⅰ)若 2   ,求曲线C 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)设点  1,2 P ,曲线C 与直线 l 交于 BA、 两点,求 2 2PA PB 的最小值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数    1 3f x x a a  R . (1)当 2a  时,解不等式  1 13x f x   ; (2)设不等式  1 3x f x x   的解集为 M ,若 1 1,3 2 M     ,求实数a 的取值范围. 第 1 页 共 6 页 2020 届“三省十二校”联考 数学(理科)答案 一、选择题: 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B B D B C D B C A D 二、填空题 13. 1 14. 4  15. 9 16 16. 57 三、解答题: 17.(1)设等差数列 的公差为 ,则 解得 或 (舍去), . (2) , . 18.(1)证明:∵ 1PA AB AD   , 2PB PD  . ∴ 2 2 2PA AB PB  , 2 2 2PA AD PD  , ∴ PA AB , PA AD , AB AD A  , ,AB AD  平面 ABCD ∴ PA  平面 ABCD ,而 BD  平面 ABCD 第 2 页 共 6 页 ∴ PA BD . 又∵ ABCD 为正方形, ∴ AC BD , PA AC A  , ,PA AC  平面 .PAC ∴ BD  平面 PAC . (2)解:如图,连接 ED ,取 ED 的中点 M , 设 AC BD O  ,连接OM ,则 BE OM , 从而 BE 平面 ACM ,平面 ACM 与 PD 的交点即为 F . 以OB  、OC  、OE  为 , ,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz , 20, ,02OC        , 10,0, 2OE       , 2 ,0,02OD        , 2 1,0,2 4 4 OE ODOM          , 平面 ACF 即平面 ACM ,设其法向量为  , ,n x y z  , 则 0, 0, n OC n OM         即 0, 2 0, y x z    令 1x  ,得  1,0, 2n  , 易知平面 ACD 的一个法向量为  0,0,1m  , ∴ 2 6cos , 33 m nm n m n         . 因为二面角 F AC D  为锐二面角,故所求余弦值为 6 3 . 19. (Ⅰ)由题意可知 2 2 2, 5 . c a b    所以 2 25, 1a b  .所以椭圆C 的方程为 2 2 15 x y  . (Ⅱ)①当直线l 的斜率不存在时,此时 MN x 轴.设  1,0D ,直线 5x  与 x 轴相交于 第 3 页 共 6 页 点G ,易得点  3,0E 是点  1,0D 和点  5,0G 的中点,又因为 MD DN , 所以 FG DN ,所以直线 //FN x 轴. ②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为   1 0y k x k      1 1 2 2, , ,M x y N x y . 因为点  3,0E ,所以直线 ME 的方程为  1 1 33 yy xx  . 令 5x  ,所以  1 1 1 1 25 33 3F y yy x x    . 由   2 2 1 , 5 5 y k x x y       消去 y 得   2 2 2 21 5 10 5 1 0k x k x k     .显然 0  恒成立. 所以  22 1 2 1 22 2 5 110 , .5 1 5 1 kkx x x xk k      因为       2 1 1 2 1 11 2 2 1 1 1 3 2 1 3 2 12 3 3 3F y x y k x x k xyy y y x x x                2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 5 1 103 55 1 5 13 5 3 3 k kk k kk x x x x x x                 2 2 2 2 1 5 1 6 5 1 05 1 3 k k k k k x        , 所以 2 Fy y .所以直线 //FN x 轴.综上所述,所以直线 //FN x 轴. 20.(1)当 5n  或 6n  时,有 3 个坑要补播种的概率最大,最大概率为 5 16 ; (2)见解 (1)将有 3 个坑需要补种表示成 n 的函数,考查函数随 n 的变化情况,即可得到 n 为何值 时有 3 个坑要补播种的概率最大.(2)n=4 时,X 的所有可能的取值为 0,1,2,3,4.分 别计算出每个变量对应的概率,列出分布列,求期望即可. (1)对一个坑而言,要补播种的概率 3 3 0 1 3 3 1 1 1 2 2 2P C C            , 有 3 个坑要补播种的概率为 3 1 2 n nC      . 第 4 页 共 6 页 欲使 3 1 2 n nC      最大,只需 1 3 3 1 1 3 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n C C C C                              , 解得5 6n  ,因为 *n N ,所以 5,6,n  当 5n  时, 5 3 5 1 5 2 16C      ;当 6n  时, 6 3 6 1 5 2 16C      ; 所以当 5n  或 6n  时,有 3 个坑要补播种的概率最大,最大概率为 5 16 . (2)由已知, X 的可能取值为 0,1,2,3,4. 14, 2X B    , 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X 的数学期望 14 22EX    . 21(1)证明:当 2m  时, 1( ) sin ln 12f x x x x    , 1 1( ) 1 cos2f x x x     . 当 (0, )x  时, ( )f x 为增函数,且 1 3 3 31 03 4 4f              , 3 1( ) 02f       ,∴ ( )f x 在 (0, ) 上有唯一零点; 当 [ , )x   时, 1 1( ) 1 cos2f x x x     1 1 1 11 02 2x    厖 , ∴ ( )f x 在[ , )  上没有零点. 综上知, ( )f x 在 (0, ) 上有唯一零点. (2)证明:不妨设 1 20 x x  ,由    1 2f x f x 得 1 1 1 1 sin ln 12 2 mx x x   2 2 2 1 sin ln 12 2 mx x x    , ∴    2 1 2 1 2 1 1ln ln sin sin2 2 m x x x x x x     . 设 ( ) sing x x x  ,则 ( ) 1 cos 0g x x   … ,故 ( )g x 在(0, ) 为增函数, 第 5 页 共 6 页 ∴ 2 2 1 1sin sinx x x x   ,从而 2 1 2 1sin sinx x x x   , ∴  2 1ln ln2 m x x    2 1 2 1 2 1 1 1sin sin2 2x x x x x x      ,∴ 2 1 2 1ln ln x xm x x   , 下面证明: 2 1 1 2 2 1ln ln x x x xx x   . 令 2 1 xt x ,则 1t  ,即证明 1 ln t tt   ,只要证明 1ln 0tt t   .(*) 设 1( ) ln th t t t   ,则  2 1 ( ) 0 2 t h t t t      ,∴ ( )h t 在(1, ) 单调递减. 当 1t  时, ( ) (1) 0h t h  ,从而(*)得证,即 2 1 1 2 2 1ln ln x x x xx x   . ∴ 1 2m x x ,即 2 1 2x x m . 22.(1)曲线 C: 2 6 cos   ,将 cos , sinx y     .代入得 x2+y2-6x=0 即曲线 C 的直角坐标方程为(x-3)2+y2=9. 直线 l: 2 1 x y t      ,(t 为参数),所以 x=2,故直线 l 的极坐标方程为 cos 2   ……5 分 (2)联立直线 l 与曲线 C 的方程得 2 2( cos sin ) ( sin 1) 9t t      即 2 2 (cos sin ) 7 0t t      设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 1 2 1 22(cos sin ), 7t t t t      因为 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 4(cos sin ) 14 4sin 2 18 14PA PB t t t t t t               当sin 2 1   时取等号,所以 2 2PA PB 的最小值为 14.-----------------10 分 22.解:(1) 依题意,直线 1l 的直角坐标方程为 3 3y x , 2l 的直角坐标方程为 3y x . ……………………………………………………………2 分 由 =2 3 cos 2sin   得 2 =2 3 cos 2 sin     , 因为 2 2 2 , cos , sinx y x y        ,……………………………………………3 分 第 6 页 共 6 页 所以 2 2( 3) ( 1) 4x y    , ……………………………………………………………4 分 所以曲线C 的参数方程为 3 2cos 1 2sin x y        ( 为参数)…………………………5 分 (2)联立 6 =2 3 cos 2sin         得 1 4OA   ,…………………………6 分 同理, 2 2 3OB   .……………………………………7 分 又 6AOB   ,………………………………………………………………8 分 所以 1 1 1sin 4 2 3 2 32 2 2AOBS OA OB AOB        ,………………9 分 即 AOB 的面积为 2 3 . ………………………………………………………10 分