郑州一中冲刺班圆锥曲线必背结论 26页

1 结论 1：过圆 222 2ayx 上任意点 P 作圆 222 ayx 的两条切线，则两条切线垂直． 结论 2：过圆 2222 bayx 上任意点 P 作椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）的两条切线， 则两条切线垂直． 结论 3：过圆 2222 bayx （ 0 ba ）上任意点 P 作双曲线 12 2 2 2 b y a x 的两条切 线，则两条切线垂直． 结论 4：过圆 222 ayx 上任意不同两点 A ，B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于 P ， 则动点 P 的轨迹为圆： 222 2ayx ． 结论 5：过椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）上任意不同两点 A ， B 作椭圆的切线，如果切 线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 2222 bayx ． 结论 6：过双曲线 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）上任意不同两点 A ， B 作双曲线的切线，如 果切线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 2222 bayx ． 结论 7：点 M （ 0x ， 0y ）在椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）上，过点 M 作椭圆的切线方 程为 12 0 2 0 b yy a xx ． 结论 8：点 M （ 0x ， 0y ）在椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）外，过点 M 作椭圆的两条切 线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 12 0 2 0 b yy a xx ． 结论 8：（补充）点 M （ 0x ， 0y ）在椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）内，过点 M 作椭圆 的弦 AB （不过椭圆中心），分别过 BA、 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程 为直线： 12 0 2 0 b yy a xx ． 2 结论 9：点 M （ 0x ， 0y ）在双曲线 12 2 2 2 b y a x （ 0,0 ba ）上，过点 M 作双曲线的 切线方程为 12 0 2 0 b yy a xx ． 结论 10：点 M （ 0x ， 0y ）在双曲线 12 2 2 2 b y a x （ 0,0 ba ）外，过点 M 作双曲线 的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 12 0 2 0 b yy a xx ． 结论 10：（补充）点 M （ 0x ， 0y ）在双曲线 12 2 2 2 b y a x （ 0,0 ba ）内，过点 M 作 双曲线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 BA、 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线： 12 0 2 0 b yy a xx ． 结论 11：点 M （ 0x ， 0y ）在抛物线 pxy 22 （ 0p ）上，过点 M 作抛物线的切线方 程为 )( 00 xxpyy ． 结论 12：点 M （ 0x ， 0y ）在抛物线 pxy 22 （ 0p ）外，过点 M 作抛物线的两条切 线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 )( 00 xxpyy ． 结论 12：（补充）点 M （ 0x ， 0y ）在抛物线 pxy 22 （ 0p ）内，过点 M 作抛物线的 弦 AB ，分别过 BA、 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线： )( 00 xxpyy ． 结论 13：点 M （ 0x ， 0y ）在椭圆 12 2 2 2 b ny a mx 上，过点 M 作椭圆的切线方程 为 1))(())(( 2 0 2 0 b nyny a mxmx ． 结论 14：点 M （ 0x ， 0y ）在双曲线 12 2 2 2 b ny a mx 上，过点 M 作双曲线的切线 方程为 12 0 2 0 b nyny a mxmx ． 3 结论 15：点 M （ 0x ， 0y ）在抛物线 mxpny 22 上，过点 M 作抛物线的切线方 程为 mxxpnyny 200 ． 结论 16：点 M （ 0x ， 0y ）在椭圆 12 2 2 2 b ny a mx 外，过点 M 作椭圆的两条切线， 切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 1))(())(( 2 0 2 0 b nyny a mxmx ． 结论 17：点 M （ 0x ， 0y ）在双曲线 12 2 2 2 b ny a mx 外，过点 M 作双曲线的两条 切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 12 0 2 0 b nyny a mxmx ． 结论 18：点 M （ 0x ， 0y ）在抛物线 mxpny 22 外，过点 M 作抛物线的两条切 线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 mxxpnyny 200 ． 结论 16：（补充）点 M （ 0x ， 0y ）在椭圆 12 2 2 2 b ny a mx 内，过点 M 作椭圆的 弦 AB （不过椭圆中心），分别过 BA、 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为 直线： 1))(())(( 2 0 2 0 b nyny a mxmx ． 结论 17：（补充）点 M （ 0x ， 0y ）在双曲线 12 2 2 2 b ny a mx 内，过点 M 作双曲 线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 BA、 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 的轨 迹方程为直线： 12 0 2 0 b nyny a mxmx ． 结论 18：（补充）点 M （ 0x ， 0y ）在抛物线 mxpny 22 内，过点 M 作抛物线 的弦 AB ，分别过 BA、 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线： mxxpnyny 200 ． 结论 19：过椭圆准线上一点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 的直 线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ． 结论 20：过双曲线准线上一点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 4 的直线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ． 结论 21：过抛物线准线上一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 的直线必过焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ． 结论 22: AB 为椭圆的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上． 结论 23: AB 为双曲线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上． 结论 24: AB 为抛物线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在准线上． 结论 25:点 M 是椭圆准线与长轴的交点，过点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ， B ， 则切点弦 AB 就是通径． 结论 26: 点 M 是双曲线准线与实轴的交点，过点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 就是通径． 结论 27: M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 就是其通径． 结论 28：过抛物线 pxy 22 （ 0p ）的对称轴上任意一点 )0,( mM （ 0m ）作抛物 线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 )0,(mN ． 结论 29：过椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）的对称轴上任意一点 ),( nmM 作椭圆的两条切 线，切点分别为 A ， B ． （1）当 0n ， am 时，则切点弦 AB 所在的直线必过点 )0,( 2 m aP ； （2）当 0m ， bn 时，则切点弦 AB 所在的直线必过点 ),0( 2 n bQ ． 结论 30：过双曲线 12 2 2 2 b y a x （ 0,0 ba ）的实轴上任意一点 )0,(mM （ am ）作 双曲线（单支）的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 )0,( 2 m aP ． 结论 31：过抛物线 pxy 22 （ 0p ）外任意一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，弦 AB 的中点为 N ，则直线 MN 必与其对称轴平行． 结论 32：若椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）与双曲线 12 2 2 2 n y m x （ 0m ， 0n ）共 焦点，则在它们交点处的切线相互垂直． 结论 33：过椭圆外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，则满足 BPAQBQAP 的动点Q 的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论 34：过双曲线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，则满足 BPAQBQAP 5 的动点Q 的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论 35：过抛物线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，则满足 BPAQBQAP 的动点Q 的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论 36：过双曲线外一点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，过 A ，B 分别作双曲线的切线 相交于点Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论 37：过椭圆外一点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，过 A ，B 分别作椭圆的切线相交 于点Q，则动点 Q的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论 38：过抛物线外一点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，过 A ，B 分别作抛物线的切线 相交于点Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论 39：从椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨 迹为圆： 222 ayx ． 结论 40：从 12 2 2 2 b y a x （ 00 ba ， ）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的 轨迹为圆： 222 ayx ． 结论 41： 是椭圆 （ ）的一个焦点， 是椭圆上任意一点，则焦 半径 ． 结论 42： 是双曲线 （ ）的右焦点， 是双曲线上任意一点． （1）当点 在双曲线右支上，则焦半径 ； （2）当点 在双曲线左支上，则焦半径 ． 结论 43： 是抛物线 （ ）的焦点， 是抛物线上任意一点，则焦半径 = ． 结论 44：椭圆上任一点 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说 处的切线 6 平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质． 结论 45：双曲线上任一点 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说 处的法 线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质． 结论 46：抛物线上任一点 处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角， 亦即抛物线的光学性质． 结论 47：椭圆的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ． 结论 48：双曲线的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ． 结论 49：抛物线的准线上任一点 处的切点弦 过其焦点 ，且 ⊥ ． 结论 50：椭圆上任一点 处的切线交准线于 ， 与相应的焦点 的连线交椭圆于 ， 则 必与该椭圆相切，且 ⊥ ． 结论 51：双曲线上任一点 处的切线交准线于 ， 与相应的焦点 的连线交双曲线于 ，则 必与该双曲线相切，且 ⊥ ． 结论 52：抛物线上任一点 处的切线交准线于 ， 与焦点 的连线交抛物线于 ，则 必与该抛物线相切，且 ⊥ ． 结论 53：焦点在 轴上的椭圆（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数列 的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列． 结论 54：焦点在 轴上的双曲线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数 列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列． 结论 55：焦点在 轴上的抛物线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数 列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列． 结论 56：椭圆上一个焦点 关于椭圆上任一点 处的切线的对称点为 ，则直线 必过 该椭圆的另一个焦点 ． 结论 57：双曲线上一个焦点 关于双曲线上任一点 处的切线的对称点为 ，则直线 必过该双曲线的另一个焦点 ． 7 结论 58：椭圆上任一点 （非顶点），过 的切线和法线分别与短轴相交于 ， ，则有 ， ， 及两个焦点共于一圆上． 结论 59：双曲线上任一点 （非顶点），过 的切线和法线分别与短轴相交于 ， ，则 有 ， ， 及两个焦点共于一圆上． 结论 60：椭圆上任一点 （非顶点）处的切线与过长轴两个顶点 ， 的切线相交于 ， ，则必得到以 为直径的圆经过该椭圆的两个焦点． 结论 61：双曲线上任一点 （非顶点）处的切线与过实轴两个顶点 ， 的切线相交于 ， ，则必得到以 为直径的圆经过该双曲线的两个焦点． 结论 62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆． 结论 63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆． 结论 64：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切． 结论 65：焦点在 轴上的椭圆（或焦点在 轴上）上任一点 （非短轴顶点）与短轴的两 个顶点 ， 的连线分别交 轴（或 轴）于 ， ，则 （或 ）． 结论 66：焦点在 轴上的双曲线（或焦点在 轴上）上任一点 （非顶点）与实轴的两个 顶点 ， 的连线分别交 轴（或 轴）于 ， ，则 （或 ）． 结论 67： 为焦点在 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则 与边 （或 ） 相切的旁切圆与 轴相切于右顶点 （或左顶点 ）． 结论 68： 为焦点在 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则 的内切圆与 轴 相切于右顶点 （或左顶点 ）． 结论 69： 是过椭圆 （ ）的焦点 的一条弦（非通径），弦 的 中垂线交 轴于 ，则 = ． 结论 70： 是过双曲线 （ ）的焦点 的一条弦（非通径，且为 8 单支弦），弦 的中垂线交 轴于 ，则 = ． 结论 71： 是过抛物线 （ ）的焦点 的一条弦（非通径），弦 的中 垂线交 轴于 ，则 = ． 结论 72： 为抛物线的焦点弦，分别过 ， 作抛物线的切线，则两条切线的交点 在 其准线上． 结论 73： 为椭圆的焦点弦，分别过 ， 作椭圆的切线，则两条切线的交点 在其相 应的准线上． 结论 74： 为双曲线的焦点弦，分别过 ， 作双曲线的切线，则两条切线的交点 在 其相应的准线上． 结论 75： 为过抛物线焦点 的焦点弦，以 为直径的圆必与其准线相切． 结论 76： 为过椭圆焦点 的焦点弦，以 为直径的圆必与其相应的准线相离（当然 与另一条准线更相离）． 结论 77： 为过双曲线焦点 的焦点弦，以 为直径的圆必与其相应的准线相交，截 得的圆弧度数为定值，且为 ． 结论 78：以圆锥曲线的焦点弦 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必 为抛物线． 结论 79：以圆锥曲线的焦点弦 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必 为椭圆． 结论 80：以圆锥曲线的焦点弦 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必 为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为 ． 结论 81： 为过抛物线 （ ）焦点 的焦点弦， （ ， ）， （ ， ），则 = ． 结论 82： 为过椭圆 （ ）焦点 的焦点弦， （ ， ）， （ ， 9 ），则 = ． 结论 83： 为过双曲线 （ ）焦点 的焦点弦， （ ， ）， （ ， ）．若 为单支 弦，则 = ；若 为双支 弦，则 = 结论 84： 为抛物线的焦点， ， 是抛物线上不同的两点，直线 交其准线 于 ， 则 平分 的外角． 结论 85： 为椭圆的一个焦点， ， 是椭圆上不同的两点，直线 交其相应的准线 于 ，则 平分 的外角． 结论 86： 为双曲线的一个焦点， ， 是双曲线上不同的两点（同一支上），直线 交 其相应的准线 于 ，则 平分 的外角． 结论 87： 为双曲线的一个焦点， ， 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线 交其相应的准线 于 ，则 平分 ． 结论 88： 是椭圆 （ ）过焦点 的弦，点 是椭圆上异于 的任一点，直线 、 分别交相应于焦点 的准线 于 、 ，则点 与点 的纵 坐标之积为定值，且为 ． 结论 89： 是双曲线 （ ）过焦点 的弦，点 是双曲线上异 于 的任一点，直线 、 分别交相应于焦点 的准线 于 、 ，则点 与 点 的纵坐标之积为定值，且为 ． 结论 90： 是抛物线 （ ）过焦点 的弦，点 是抛物线上异于 的 任一点，直线 、 分别交准线 于 、 ，则点 与点 的纵坐标之积为定值， 10 且为 ． 结论 91： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长 轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，则 为 定值，且有 ． 结论 92： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ， （ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 93： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ， （ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 94： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ， （ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 95： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ， （ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， 11 ，则 为定值，且有 = ． 结论 96： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ， （ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 97： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ， （ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 98： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ， （ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 99： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ， （ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 ． 结论 100： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ， （ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 12 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 101： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ， （ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 102： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ， （ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 103： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ， （ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 104： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ， （ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 105： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ， （ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 13 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 106： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ， （ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 107： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长 轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = = ． 结论 108： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长 轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = = ． 结论 109： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长 轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 110： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长 轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 14 = ． 结论 111： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ， （ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 112： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ， （ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 113： ， 为椭圆 （ ）的任一直径（中心弦）， 为椭圆上任 一点（不与 ， 点重合），则 为定值，且有 = = ． 结论 114： ， 为椭圆 （ ）的任一弦（不过原点且不与对称轴平 行）， 为弦 的中点，若 与 均存在，则 为定值，且有 = = ． 结论 115： 为椭圆 （ ）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于 的弦的中点的轨迹为直线 ，则有 = = ． 结论 116：过椭圆 （ ）上任意一点 (不是其顶点)作椭圆的切线 ， 15 则有 = = ． 结论 117：椭圆 （ ）及定点 ，（ ），过 的弦的 端点为 ， ，过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，直线 与 轴相交于 ，则直线 与 恒过 的中点，且有 ． 结论 118：椭圆 （ ）及定点 ，（ ± ），过 任作一条 弦 ， 为椭圆上任一点，连接 ， ，且分别与准线 相交于 ， ，则有 = ． 结论 119：椭圆 （ ）及定点 ，（ ， ），过 任作一条弦 ， 为椭圆上任一点，连接 ， ，且分别与直线 相交于 ， ，则有 = ． 结论 120： ， 为双曲线 （ ）的顶点， 为双曲线上任一点（非 实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，则 为定 值，且有 = = ． 结论 121： ， 为双曲线 （ ）的顶点， 为双曲线上任一点（非 实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，则 为定 值，且有 = ． 16 结论 122： ， 为双曲线 （ ）的顶点， 为双曲线上任一点（非 实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，则 为定 值，且有 = ． 结论 123： ， 为双曲线 （ ）的顶点， 为双曲线上任一点（非 实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，则 为定 值，且有 = ． 结论 124： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ， （ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 125： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ， （ ）， 为双曲线上任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有 = ． 结论 126： 为双曲线 （ ）的任一直径， 为双曲线上任一点 （不与 ， 点重合），则 为定值，且有 = = ． 结论 127： 为双曲线 （ ）的任一弦（不过原点且不与对称轴 17 平行）， 为弦 的中点，若 与 均存在，则 为定值，且有 = ． 结论 128： 为双曲线 （ ）的任一弦（不与对称轴平行），若平 行于 的弦的中点的轨迹为直线 ，则有 = = ． 结论 129：过双曲线 （ ）上任意一点 (不是其顶点)作双曲线的切 线 ，则有 = = ． 结论 130：双曲线 （ ）及定点 ，（ 或 ），过 的弦的端点为 ， ，过 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，直线 与 轴相交于 ，则直线 与 恒过 的中点，且有 ． 结论 131：双曲线 （ ）及定点 ，（ ± ），过 任作一 条弦 ， 为双曲线上任一点，连接 ， ，且分别与准线 相交于 ， ， 则有 = ． 结论 132：双曲线 （ ）及定点 ，（ 或 ），过 任作一条弦 ， 为双曲线上任一点，连接 ， ，且分别与直线 相交于 ， ，则有 = ． 结论 133：抛物线 （ ）及定点 ，（ ），过 的弦的端点为 ， ，过 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，直线 与 轴相交 18 于 ，则直线 与 恒过 的中点，且有 ． 结论 134：抛物线 （ ）及定点 ，（ ），过 任作一条弦 ， 为抛物线上任一点，连接 ， ，分别与准线 相交 ， ，则 = ． 结论 135：抛物线 （ ）及定点 ，（ ），过 任作一条弦 ， 为抛物线上任一点，连 ， ，分别与直线 相交 ， ，则 = ． 结论 136：过抛物线 （ ）的焦点 （ ，0）的弦（焦点弦）与抛物线相 交于 ， ，过 作直线 与 轴平行，且交准线于 ，则直线 必过原点（即其准 线与 轴交点 与焦点 的线段的中点）． 结论 137： 为椭圆 （ ）的焦点 的弦，其相应的准线与 轴交 点为 ，过 ， 作 轴的平行线与其相应的准线分别相交于 ， ，则直线 ， 均过线段 的中点． 结论 138： 为双曲线 （ ）的焦点 的弦，其相应的准线与 轴交点为 ，过 ， 作 轴的平行线与其相应的准线分别相交于 ， ，则直线 ， 均过线段 的中点． 结论 139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线， 垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点． 结论 140： AB 为垂直于椭圆 长轴上的动弦，其准线与 轴 相交于 ，则直线 AF 与 BQ（或直线 BF 与 AQ）的交点 M 必在该椭圆上． 结论 141： AB 为垂直于双曲线 实轴的动弦，其准线与 轴相交于 ， 则直线 AF 与 BQ（直线 BF 与 AQ）的交点 M 也恒在该双曲线上． 19 结论 142： AB 为垂直于抛物线 对称轴的动弦，其准线与 轴相 交于 ，则直线 AF 与 BQ（直线 BF 与 AQ）的交点 M 也恒在该抛物线上． 结论 143：AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线）） 的动弦，其准线与 轴相交于 ，则直线 AF 与 BQ（直线 BF 与 AQ）的交点 M 也恒在该 圆锥曲线上． 结论 144：圆锥曲线的焦点弦 AM（不为通径，若双曲线则为单支弦），则在 x 轴上有且只 有一点 Q 使 ． 结论 145：过 F 任作圆锥曲线的一条弦 AB（若是双曲线则为单支弦），分别过 A B 作准线 l 的垂线（ 是其相应准线与 轴的交点），垂足为 ，则直线 与直线 都经过 QF 的中点 K，即 及 三点共线． 结论 146：若 AM、BM 是圆锥曲线过点 F 且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双 曲线）或对称轴（抛物线）)，如图 5，则四线 共点于 K． 结论 147： ， 分别为椭圆 （ ）的右顶点和左顶点， 为椭圆任 一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则以线段 为直 径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为 （ ，0）及椭圆内定点为 （ ，0）． 结论 148： ， 分别为双曲线 （ ）的右顶点和左顶点， 为双 曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ， 则以线段 为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为 （ ，0）及 双曲线外定点为 （ ，0）． 20 结论 149：过直线 （ ）上但在椭圆 （ ）外一点 向椭 圆引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点 ，且有 ． 结论 150：过直线 （ ）上但在双曲线 （ ）外（即双曲 线中心所在区域）一点 向双曲线引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点 ，且有 ． 结论 151：过直线 （ ）上但在抛物线 （ ）外（即抛物线准线 所在区域）一点 向抛物线引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点 ，且有 ． 结论 152：设点 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点 向圆锥曲 线引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过准线对应的焦点 ，且 ⊥ ． 结论 153：过直线 上但在椭圆 （ ）外一点 向椭圆引 两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点 ． 结论 154：过直线 上但在双曲线 （ ）外（即双曲线中 心所在区域）一点 向双曲线引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点 ． 结论 155：过直线 （ ）上但在抛物线 （ ）外（即抛物线 准线所在区域）一点 向抛物线引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点 21 ． 结论 156： ， 是椭圆 （ ）的左右顶点，点 是直线 （ ， ）上的一个动点（ 不在椭圆上），直线 及 分别与椭圆相交于 ， ，则直 线 必与 轴相交于定点 ． 结论 157： ， 是在双曲线 （ ）的顶点，点 是直线 （ ， ）上的一个动点（ 不在双曲线上），直线 及 分别与双曲线相交于 ， ， 则直线 必与 轴相交于定点 ． 结论 158： ， 是抛物线 （ ）上异于顶点 的两个动点，若直线 过 定点 （ ，0），则 ⊥ ，且 ， 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值． 结论 159： ， 是抛物线 （ ）上异于顶点 的两个动点，若 ⊥ ， 则直线 必过定点 （ ，0），且 ， 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值． 结论 160： ， 是抛物线 （ ）上异于顶点 的两个动点，若 ⊥ ， 过 作 ⊥ ，则动点 的轨迹方程为 （ ）． 结论 161： ， 是抛物线 （ ）上异于顶点 的两个动点，若 ⊥ ， 则 = ． 结论 162：过抛物线 （ ）上任一点 （ ， ）作两条弦 ， ， 则 ⊥ 的充要条件是直线 过定点 （ ， ）． 结论 163：过抛物线 （ ）上任一点 （ ， ）作两条弦 ， ， 则 = （ ）的充要条件是直线 过定点 （ ， ）． 22 结论 164：过椭圆 （ ）上任一点 （ ， ）作两条弦 ， ， 则 ⊥ 的充要条件是直线 过定点 （ ， ）． 特别地，（1）当 为左、右顶点时，即 = ， =0 时， ⊥ 的充要条件是 直线 过定点 （ ， ）． （2）当 为上、下顶点时，即 =0， = 时， ⊥ 的充要条件是直线 过定点 （0， ）． 结论 165：过双曲线 （ ， ）上任一点 （ ， ）作两条弦 ， ，则 ⊥ 的充要条件是直线 过定点 （ ， ）． 特别地，当 为左、右顶点时，即 = ， =0 时， ⊥ 的充要条件是直线 过定点 （ ，0）． 结论 166：过二次曲线： （ ， ， ， ， 为常数， ） 上任一点 （ ， ）作两条弦 ， ，若 ⊥ ，则直线 恒过定点 ． 值得注意的是：在结论 166 中 （1）令 ， ， ， 就是结论 159； （2）令 ， ， 就是结论 162； （3）令 ， ， 就得到结论 164； （4）令 ， ， 就得到结论 165． 23 结论 167： ， 是椭圆 （ ）上不同的两个动点，若 ⊥ ， 则 + = ． 结论 168： ， 是椭圆 （ ）上不同的两个动点，若 ⊥ ， 则有 + = ， + = ． 结论 169： ， 是双曲线 （ ）上不同的两个动点（在同一支上）， 若 ⊥ ，则有 + = ． 结论 170：在抛物线 （ ）的对称轴上存在一个定点 ，使得过该点 的任意弦 恒有 ． 结论 171：在椭圆 （ ）的长轴上存在定点 ，使得 过该点的任意弦 恒有 = ． 结论 172：在双曲线 （ ）的实轴上存在定点 ，使 得过该点的任意弦 恒有 = ． 结论 173：过椭圆 （ ）的焦点 作一条直线与椭圆相交于 ， ， 与 轴相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ． 结论 174：过双曲线 （ ）的焦点 作一条直线与双曲线相交于 ， 24 ，与 轴相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ． 结论 175：过抛物线 （ ）的焦点 作一条直线与抛物线相交于 ， ， 与 轴相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ． 结论 176：过椭圆 （ ）的焦点 作一条直线与椭圆相交于 ， ， 与相应准线相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ． 结论 177：过双曲线 （ ）的焦点 作一条直线与双曲线相交于 ， ，与相应准线相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ． 结论 178：过抛物线 （ ）的焦点 作一条直线与抛物线相交于 ， ， 与准线相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ． 结论 179： 是垂直椭圆 （ ）长轴的动弦， 是椭圆上异于顶点 的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ，若 ， ，则 为定值，且 ． 结论 180： 是垂直双曲线 （ ）实轴的动弦， 是双曲线上 异于顶点的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ，若 ， ， 则 为定值，且 ． 结论 181： 是垂直抛物线 （ ）对称轴的动弦， 是抛物线上异于顶点 的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ，若 ， ，则 为定值，且 ． 结论 182： 是垂直椭圆 （ ）长轴的动弦， 是椭圆上异于顶点 25 的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ， 为长轴顶点，若 ， ， 则 为定值，且 ． 结论 183： 是垂直双曲线 （ ）实轴的动弦， 是双曲线上 异于顶点的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ， 为实轴顶点，若 ， ，则 为定值，且 ． 结论 184： 是垂直抛物线 （ ）对称轴的动弦， 是抛物线上异于顶点 的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ， 为抛物线焦点，若 ， ，则 为定值，且 ． 结论 185（补充）：点 是椭圆 （ ）上任意一点，弦 、 分别 过定点 、 ，（ ），且 ， ，则 为 定值，且 ． 结论 186（补充）：点 是双曲线 （ ， ）上任意一点，弦 、 分别过定点 、 ，（ ），且 ， ，则 为定值，且 ． 结论 187：（补充）： 、 是圆 ： （ ）上任意两点，点 关于 轴 对称点为 ，若直线 、 与 轴分别相交于点 、 ，则 为定值， 且 ． 结论 188：（补充）： 、 是椭圆 ： （ ）上任意两点，点 关 于 轴对称点为 ，若直线 、 与 轴分别相交于点 、 ，则 为 26 定值，且 ． 结论 189：（补充）： 、 是双曲线 ： （ ， ）上任意两点，点 关于 轴对称点为 ，若直线 、 与 轴分别相交于点 、 ，则 为定值，且 ． 结论 190（补充）： 、 是椭圆 ： （ ）上关于 轴对称的任意 两个不同的点，点 是 轴上的定点，直线 交椭圆 于另一点 ，则直线 恒 过 轴上的定点，且定点为 ． 结论 191（补充）： 、 是双曲线 ： （ ， ）上关于 轴对称 的任意两个不同的点，点 是 轴上的定点，直线 交双曲线一点 ，则直线 恒过 轴上的定点，且定点为 ． 结论 192（补充）： 、 是抛物线 ： （ ）上关于 轴对称的任意两个 不同的点，点 是 轴上的定点，直线 交抛物线一点 ，则直线 恒过 轴上 的定点，且定点为 ．