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- 2021-10-25 发布
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第六章 二元一次方程组
6.2 二元一次方程组的解法
第3课时 用加减法解二元
一次方程组
1 u直接加减消元
u先变形,再加减消元
u解方程组的应用
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
主要步骤:
基本思路:
写解
求解
代入 把变形后的方程代入到另一个方程中,
消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
变形
用含有一个未知数的代数式表示另一
个未知数, 写成y=ax+b或x=ay+b
消元: 二元
1、解二元一次方程组的基本思路是什么?
2、用代入法解方程的步骤是什么?
一元
1 直接加减消元
知1-导
把②变形得
代入①,不就消去x了!
怎样解下面的二元一次方程组呢?
3 5 21,
2 5 11.
x y
x y
ì + =ïïíï - =-ïî
①
②
5 11,2
yx -=
按小丽的思路,你能消去一个未知数吗?
把②变形得5y=2x+11,
可以直接代入①呀!
5y和-5y互
为相反数……
知1-导
两个方程相加,可以得到5x = 10,
x = 2.
将x = 2代入①,得 6 + 5y = 21,
y = 3.
所以方程组 2
3.
x
y
ì =ïïíï =ïî
,3 5 21,
2 5 11
x y
x y
ì =ïïíï =ïî
+
- -
的解是
知1-导
加减法定义:当二元一次方程组的两个方程中同
一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边
分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一
元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
知1-讲
例1 解方程组:
解:①+②,得7x=14,
x=2.
将x=2代入①,得10+3y=16,
y=2.
所以,原方程组的解是
知1-讲
(来自教材)
5 3 16,
2 3 2.
x y
x y
①
②
ì =ïïíï =ïî
+
- -
2,
2.
x
y
ì =ïïíï =ïî
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数
的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别
相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一
元一次方程,然后解答方程即可.
知1-讲
1 用加减消元法解下列方程组:
知1-练
(来自《教材》)
5(1)
3.
x y
x y
+ = , ①
- = ②
ìïïíïïî
①+②,得2x=8,x=4.
把x=4代入①,得4+y=5,y=1.
所以原方程组的解为
5(1) 3.
x y
x y
+ = ,
- =
ìïïíïïî
7 2 3(2) 9 2 19.
x y
x y
- = ,
+ =-
ìïïíïïî
4
1.
x
y
= ,
=
ìïïíïïî
解:
知1-练
(来自《教材》)
①+②,得16x=-16,x=-1.
把x=-1代入①,得7×(-1)-2y=3,
解得y=-5.
所以原方程组的解为
7 2 3(2) 9 2 19.
x y
x y
- = ,
+ =-
ìïïíïïî
7 2 3(2)
9 2 19.
x y
x y
- = ,①
+ =- ②
ìïïíïïî
1
5.
x
y
=- ,
=-
ìïïíïïî
解:
2 方程组 中,x的系数的特点是_______,
方程组 中,y的系数的特点是
______________,
这两个方程组用________消元法解较简便.相等
知1-练
2 3 1,
2 +5 2
x y
x y
ì - =ïïíï =-ïî
5 +4 8,
7 4 6
x y
x y
ì =ïïíï - =ïî
相等
互为相反数
加减
方程组 既可以用________消去
未知数________;也可以用________________
消去未知数________.
知1-练
3 4 2
3 4 1
x y
x y
- = ,①
+ = ②
ìïïíïïî
①+②3
y ①-②或②-
①
x
用加减法解方程组 时,
①-②得( )
A.5y=2 B.-11y=8
C.-11y=2 D.5y=8
知1-练
2 3 5,
2 8 3
x y
x y
ì - =ïïíï - =ïî
①
②
A
4
解方程组 时,用加减消元法
最简便的是( )
A.①+② B.①-②
C.①×2-②×3 D.①×3+②×2
知1-练
3 3 4
2 3 1
x y
x y
- = ,①
+ = ②
ìïïíïïî
A
5
【中考·宁夏】已知x,y满足方程组
则x+y的值为( )
A.9 B.7
C.5 D.3
知1-练
6 12
3 2 8
x y
x y
+ = ,
- = ,
ìïïíïïî
A
6
如果二元一次方程组的未知数的系数相同或互
为相反数,我们可以运用加减法来解.那么对于一
些系数不同或不互为相反数的二元一次方程组,还
能用加减法来解吗?
2 先变形,再加减消元
知2-导
(1)两个方程同一未知数的系数的绝对值如果相等或
成倍数关系,解方程组时考虑用加减消元法.
(2)如果同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成
倍数关系,我们应设法将一个未知数的系数的绝
对值转化为相等关系.
(3)用加减法时,一般选择系数比较简单(同一未知数
的系数的绝对值相等或成倍数关系)的未知数作为
消元对象.
知2-讲
例2 解方程组:
知2-讲
(来自教材)
5 6 7,
2 3 4.
x y
x y
①
②
ì =ïïíï =ïî
+
+
1,
2.
x
y
ì =ïïíï =ïî
-
解:②×2,得4x+6y=8, ③
①-③,得x=-1.
把x=-1代入②,得 -2+3y=4,
y=2.
所以,原方程组的解为
例3 解方程组:
导引:方程组中,两个方程中y的系数的绝对值成倍数
关系,方程②乘以3就可与方程①相加消去y.
解: 由②×3,得 51x-9y=222,③
由①+③,得 59x=295,解得 x=5.
把x=5代入①,得8×5+9y=73,解得
所以原方程组的解为
知2-讲
8 9 73,
17 3 74.
x y
x y
ì + =ïïíï - =ïî
①
②
5,
11 . 3
x
y
ì =ïïïíï =ïïî
11 .3
y =
1 用加减消元法解下列方程组:
知2-练
(来自《教材》)
1(1)
2 3 7.
m n
m n
- = , ①
+ = ②
ìïïíïïî
②-①×2,得5n=5,n=1.
把n=1代入①,得m-1=1,m=2.
所以原方程组的解为 2
1.
m
n
= ,
=
ìïïíïïî
解:
2 2 0(2) 7 4 41 0.
x y
x y
+ + = ,
- + =
ìïïíïïî
1(1) 2 3 7.
m n
m n
- = ,
+ =
ìïïíïïî
知2-练
(来自《教材》)
①×2,得2x+4y+4=0.③
③+②,得9x+45=0,x=-5.
把x=-5代入①,得-5+2y+2=0,解得y=
所以原方程组的解为
解:
2 2 0(2) 7 4 41 0.
x y
x y
+ + = ,
- + =
ìïïíïïî
2 2 0(2)
7 4 41 0.
x y
x y
+ + = ,①
- + = ②
ìïïíïïî
3 .25.
3 .2
x
y
=-
=
ìïïïíïïïî
【中考·河北】利用加减消元法解方程组
下列做法正确的是( )
A.要消去y,可以将①×5+②×2
B.要消去x,可以将①×3+②×(-5)
C.要消去y,可以将①×5+②×3
D.要消去x,可以将①×(-5)+②×2
知2-练
2 5 10,
5 3 6.
x y
x y
ì + =-ïïíï - =ïî
①
② D
2
用加减法解方程组 时,要使两个
方程中同一未知数的系数相等或互为相反数,
有以下四种变形的结果:
其中变形正确的是( )
A.①② B.③④ C.①③
D.②④
知2-练
2 3 1
3 2 8
x y
x y
+ = ,
- =
ìïïíïïî
B
3
6 9 1
6 4 8
x y
x y
+ = ,① - = ;
ìïïíïïî
4 6 1
9 6 8
x y
x y
+ = ,② - = ;
ìïïíïïî
6 9 3
6 4 16
x y
x y
+ = ,③ - + =- ;
ìïïíïïî
4 6 2
9 6 24
x y
x y
+ = ,④ - = ,
ìïïíïïî
知3-讲
3 解方程组的应用
例4 解方程组:
导引:方程①和②中x,y的系数的绝对值都不相等,
也不成倍数关系,应取系数的绝对值的最小
公倍数6,可以先消去x,也可以先消去y.
2 3 3,
3 2 11.
x y
x y
①
②
ì =ïïíï =ïî
+
+
解:方法一:①×3,得6x+9y=9.③
②×2,得6x+4y=22.④
③-④,得5y=-13,即
把
解得
所以这个方程组的解为
知3-讲
13 .5
y =-
13
5
y =- 132 3 3,5
x ÷ç+ ´ - =÷ç ÷ç
27 .5
x =
27 , 5
13 . 5
x
y
ìïï =ïïïíïï =-ïïïî
代入①,得
方法二:①×2,得4x+6y=6.⑤
②×3,得9x+6y=33.⑥
⑥-⑤,得5x=27,解得
把
解得
所以这个方程组的解为
知3-讲
27 .5
x =
272 3 3,5
y´ + =
27 , 5
13 . 5
x
y
ìïï =ïïïíïï =-ïïïî
27
5
x =
13 .5
y =-
代入①,得
知3-讲
用加减消元法解二元一次方程组时,一般有三种
情况:
①方程组中某个未知数的系数的绝对值相等,则直接
利用加减法求解;
②方程组中任一个未知数的系数的绝对值都不相等,
但某个未知数的系数的绝对值成倍数关系,则其中
一个方程乘这个倍数后再利用加减法求解;
知3-讲
③方程组中任一个未知数的系数的绝对值既不相等,
也不成倍数关系,可利用最小公倍数的知识,把两
个方程都适当地乘一个数,使某个未知数的系数的
绝对值相等,然后再利用加减法求解.
若方程组 的解也是二元一次方程
5x-my=-11的一个解,则m的值等于( )
A.5 B.-7
C.-5 D.7
知3-练
2 1
3 2 1 2
x y
x y
ìïïíïïî
- = ,
+ =
D
1
【中考·黔东南州】小明在某商店购买商品A,B共
两次,这两次购买商品A,B的数量和费用如表:
若小丽需要购买3个商品A和2个商品B,则她要花
费( )
A.64元 B.65元 C.66元 D.67元
知3-练
2
C
购买商品A
的数量/个
购买商品B
的数量/个
购买总
费用/元
第一次购物 4 3 93
第二次购物 6 6 162
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤:
(1)变形:将方程组中某一未知数的系数变为相等或
相反.
(2)加减:消去一个未知数.
(3)求解:得到一个未知数的值.
(4)回代:求另一个未知数的值.
(5)写出解.
1
解方程组:
易错点:误将换元的解当作原方程组的解(换元法)
2 易错小结
3 5 16
2 15.
x y x y
x y x y
( + )-( - )= ,
( + )+( - )=
解:
3 5 16
2 15.
7 7 11.
7 4
1 3.
4
3.
x y a x y b
a b
a b
a x y x yb
x y x
x y y
x
y
令 + = , - = ,
- = ,则原方程组可化为 + =
= ,解得 所以 + = , - = ,=
+ = , = ,将它们组成新方程组,即 解得- = , =
= ,所以原方程组的解是 =
本题用换元法解方程组,容易犯偷换概念的错
误,误认为a和b的值就是原方程组的解.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题!
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