中考数学第一轮复习导学案矩形、菱形、正方形 14页

- 1 - 矩形、菱形、正方形 ◆ 课前热身 1.如图，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____． A B C DE A′ 2．如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm，DE⊥AB， 3sin 5A  ，则这个菱形的面积= cm2． 3．如图 1，由“基本图案”正方形 ABCO 绕 O 点顺时针旋转 90°后的图形是 ( )． 基本图案 图 1 A． B． C． D． 4.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形 5．如图，四边形 ABCD 是平行四边形， 使它为矩形的条件可以是 ． 6． 的平行四边形是是菱形（只填一个条件）． 【参考答案】 1.60° 2.60 3.A 4. A 5.答案不唯一，如 AC=BD，∠BAD=90o，等 6.对角线互相垂直（或有一组邻边相等，或一条对角线平分一组对角） B A C B A C B A C B A C C A B O O O OO - 2 - ◆考点聚焦 知识点 矩形 菱形 正方形 大纲要求 1．理解几种特殊的平行四边形的定义、特征和识别方法． 2．理解几种特殊的平行四边形之间的关系． 3．了解特殊平行四边形的面积公式，中点四边形和重心的物理意义． 4．会求解特殊平行四边形与函数或三角函数有关的问题． 5．会求特殊平行四边形中涉及全等、相似和其他几何变换的问题． 考查重点和常考题型 本节内容的试题涉及特殊平行四边形的概念、性质、•判定及它们之间的关系，主要考 查边长、对角线长、面积等的计算，题型有填空题、选择题，但更多的是证明题，求值计算 题、条件探索题、几何动态问题和与函数结合题． ◆备考兵法 1．在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，•通常是在某一个直角三角形中运用勾 股定理及有关直角三角形的知识来解决．正方形的性质很多，要根据题目的已知条件，选择 最恰当的方法，使解题思路简捷． 2．在解答时，要根据特殊平行四边形的一些特殊规律或添加相应的辅助线，•将所求的结 论转化在特殊的平行四边形或三角形中思考，要注意寻找图形中隐含的相等的边和角． ◆考点链接 1. 特殊的平行四边形的之间的关系 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 四 边形四 边形四 边形 平 行 四 边 形平 行 四 边 形 矩 形矩 形 菱 形菱 形 梯 形梯 形 一角为 90° 一角为 90° 一组邻边 相等 一组邻边 相等 正方形正方形两组对边 平行 两组对边 平行 只有一组对边平行只有一组对边平行 一角为直角且一组邻边相等一角为直角且一组邻边相等 邻边相等邻边相等 一角为 90° 一角为 90° 等腰梯形 两腰相等 - 3 - 2. 特殊的平行四边形的判别条件 要使 ABCD 成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使 ABCD 成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使矩形 ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ ； 要使菱形 ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ . 3. 特殊的平行四边形的性质 边 角 对角线 矩形 菱形 正方形 ◆ 典例精析 例 1（浙江杭州）如果用 4 个相同的长为 3 宽为 1 的长方形，拼成一个大的长方形，那么这 个大的长方形的周长可以是_____________． 【答案】14 或 16 或 26 【解析】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力。解答本题最好能将所有的拼法画 出来后再进行求解。本题的不同拼法有： 例 2（浙江杭州） 如图，在菱形 ABCD 中，∠A=110°，E，F 分别 是边 AB 和 BC 的中点，EP⊥CD 于点 P，则∠FPC=( ) A.35° B.45° C.50° D.55° 【答案】 D 【解析】本题综合考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、直角三角形斜边上 的中线的性质、三角形的内角和等知识点，是一道综合性很强的题目。 - 4 - A B C D E F O 解答本题应首先延长 PF 交 AB 的延长线于点 G，根据题意，利用角角边可证明 BGF ≌ CPF ，于是得到 GFPC  ，PF=FG，所以在 EGPRt 中，EF 是斜边上的中线，于是 得到 FE=FG，所以 FEGG  ，又因为 E、F 分别为中点，所以 EB=FB，所以，FE=FG=BF， 所以 BFEBEFGFPC  ，又因为∠A=110°，所以 070EBF ,因此， 00 180702 FPC ,解得 055FPC 。 例 3（年贵州贵阳）如图，已知面积为 1 的正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 任意作一条直线分别交 AD、BC 于 E、F，则阴影部分的面积 是 ． 【答案】1 4或 0.25. 【解析】本题综合考察了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识进行有关计算的能 力，属于基础题，依据已知和正方形的性质及全等三角形的判定可知△AOE≌△COF,则得图 中阴影部分的面积为正方形面积的1 4，因为正方形的边长为 1，则其面积为 1，于是这个图 中阴影部分的面积为1 4。解答这类题时一般采取利用图形的全等的知识将分散的图形集中在 一起，再结合图形的特征选择相应的公式求解。 例 4（山东威海）如图 1，在正方形 ABCD中，E F G H， ， ， 分别为边 AB BC CD DA， ， ， 上的点， HA EB FC GD   ，连接 EG FH， ，交点为O ． （1）如图 2，连接 EF FG GH HE， ， ， ，试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的 结论； A B C D E P F G 图 1 D C B A O H G F E E B A D C G F H 图 2 图 3 - 5 - （2）将正方形 ABCD沿线段 ,EG HF 剪开，再把得到的四个四边形按图 3 的方式拼接 成一个四边形．若正方形 ABCD的边长为 3cm， 1cmHA EB FC GD    ，则图 3 中 阴影部分的面积为_________ 2cm ． 【分析】（1）结合条件观察图形 2 容易发现： AEH BFE CGF DHG△ ≌△ ≌△ ≌△ ， 得出：四边形 EFGH 是菱形；再由 DHG AEH△ ≌△ 可知： 90DHG AHE   °，从而 证得四边形 EFGH 是正方形.（2）连接 EH、HG、GF、FE，由第（1）小题可知：四边形 是正方形，可得阴影部分面积是 1. 【答案】（1）四边形 是正方形． 证明： 四边形 ABCD是正方形，  90A B C D AB BC CD DA          °， . HA EB FC GD   ， AE BF CG DH    ． AEH BFE CGF DHG△ ≌△ ≌△ ≌△ ． EF FG GH HE    ． 四边形 EFGH 是菱形． 由 知 DHG AEH   ． 90AEH AHE   °， 90DHG AHE   °． 90GHE  °． 四边形 EFGH 是正方形． （2）1． 迎考精炼 一、选择题 1. （ 吉 林 长 春 ） 菱形OABC在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 位 置 如 图 所 示 ， 45 2AOC OC  °， ，则点 B 的坐标为（ ） A．( 21)， B．(1 2)， C．( 2 11) ， D．(1 2 1)， - 6 - 2．（广西南宁）如图，将一个长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两 邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A． 210cm B． 220cm C． 240cm D． 280cm 3.（湖南长沙）如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点O ， 60 2AOB AB  °， ，则 矩形的对角线 AC 的长是（ ） A．2 B．4 C． 23 D． 43 4．（湖北孝感）如图，正方形 ABCD 内有两条相交线段 MN、EF，M、N、E、F 分别在边 AB、CD、AD、BC 上．小明认为：若 MN = EF，则 MN⊥EF；小亮认 为: 若 MN⊥EF，则 MN = EF．你认为（ ） A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对 5．（黑龙江齐齐哈尔市）梯形 ABCD中， AD BC∥ ， 1AD  ， 4BC  ， 70C °， 40B °，则 AB 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（山西）如图（1），把一个长为 m 、宽为 n 的长方形（ mn ）沿虚线剪开，拼接成图 （2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A． 2 mn B． mn C． 2 m D． 2 n A B C D O D C A B x y O C B A - 7 - 二、填空题 1.（广西贺州）如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、 DE，则图中阴影部分的面积是 cm2． 2.（青海）如图，四边形 ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）． 3.（天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一 个四边形 ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形 可以是 ． 4.（山东烟台）如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容 易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 8，那么菱形周长的最大值是 ． 5．（山东日照）如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB 与 CD 不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加 一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出 AD∥BC 且 AB＝CD. B C E A D F m n n n （2） （1） A D C B O - 8 - 三、解答题 1.（浙江嘉兴）如图，在平行四边形 ABCD 中， BCAE  于 E， CDAF  于 F，BD 与 AE、 AF 分别相交于 G、H． （1）求证：△ABE∽△ADF； （2）若 AHAG ，求证：四边形 ABCD 是菱形． 2. (安顺安顺)如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平 行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连结 BF。 （1） 求证：BD=CD； （2） 如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论。 A D C B G E H F B C D A O （第 5 题图） - 9 - 3.（湖南益阳）如图，△ABC 中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC 于 D，BD＝2，DC＝3，求 AD 的 长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： (1)分别以 AB、AC 为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F， 延长 EB、FC 相交于 G 点，证明四边形 AEGF 是正方形； (2)设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值. 4.（吉林长春）如图，在矩形 ABCD中，点 EF、 分别在边 AD DC、 上， ABE DEF△ ∽△ ， 6 9 2AB AE DE  ， ， ，求 EF 的长． 5.（广西南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上 A B C D E F B C A E G D F - 10 - 下底相距80 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道， 各甬道的宽度相等．设甬道的宽为 x 米． （1）用含 的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽 度成正比例关系，比例系数是 5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元，那么 当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 6.（福建龙岩）在边长为 6 的菱形 ABCD 中，动点 M 从点 A 出发，沿 A→B→C 向终点 C 运动， 连接 DM 交 AC 于点 N． （1）如图 1，当点 M 在 AB 边上时，连接 BN． ①求证： ABN ADN△ ≌△ ； ②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN = ，求点 M 到 AD 的距离及 tan 的值； （2）如图 2，若∠ABC = 90°，记点 M 运动所经过的路程为 x（6≤x≤12）．试问：x为何 值时，△ADN 为等腰三角形． C B M A N D （图 1） C M B N A D （图 2） - 11 - 【参考答案】 一、选择题 1.C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A 二、填空题 1. 2 3 2. AC BD⊥ 或 AB BC ，或 BC CD ，或CD DA ，或 AB AD 3.正方形（对角线互相垂直的四边形均可） 4.17 5.∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD；(任选 其一) 三、解答题 1.（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ABE＝∠ADF． ∴△ABE∽△ADF （2）∵△ABE∽△ADF， ∴∠BAG＝∠DAH． ∵AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG， 从而∠AGB＝∠AHD． ∴△ABG≌△ADH． ∴ ADAB ． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是菱形． 2.（1） AF BC∥ ， AFE DCE∠ ∠ E 是 AD 的中点， AE DE ． (3') AFE DCE AE DE AEF DEC AEF DEC            AF DC ， AF BD BD CD （2）四边形 AFBD 是矩形 AB AC ， D 是 BC 的中点 AD BC ， 90ADB∠ - 12 - AF BD ， AF BC∥ 四边形 AFBD 是平行四边形 又 90ADB ∠ 四边形 AFBD 是矩形． 3.(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF . ∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝90°. 又∵AD⊥BC ∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°. 又∵AE＝AD，AF＝AD ∴AE＝AF. ∴四边形 AEGF 是正方形. (2)解：设 AD＝x，则 AE＝EG＝GF＝x. ∵BD＝2，DC＝3 ∴BE＝2 ，CF＝3 ∴BG＝x－2，CG＝x－3. 在 Rt△BGC 中，BG2＋CG2＝BC2 ∴( x－2)2＋(x－3)2＝52. 化简得，x2－5x－6＝0 解得 x1＝6，x2＝－1（舍） 所以 AD＝x＝6. 4.解：∵四边形 ABCD是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9 ∴在 Rt△ABE 中，由勾股定理得：BE= 11769 2222  ABAE ∵ ABE DEF△ ∽△ ， ∴ EF BE DE AB  ，即 EF 117 2 6  ∴EF= 3 117 5．解：（1）横向甬道的面积为：  2120 180 150 m2 xx  - 13 - （2）依题意： 2 1 120 1802 80 150 2 8082x x x       整理得： 2 155 750 0xx   125 150xx， （不符合题意，舍去） 甬道的宽为 5 米． （3）设建设花坛的总费用为 y 万元．  2120 1800.02 80 160 150 2 5.72y x x x x       20.04 0.5 240xx   当 0.5 6.252 2 0.04 bx a    时， 的值最小． 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米， 6x当 米时，总费用最少． 最少费用为： 20.04 6 0.5 6 240 238.44     万元 6.（1）①证明：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB = AD，∠1 =∠2 又∵AN = AN ∴△ABN ≌ △ADN ②解：作 MH⊥DA 交 DA 的延长线于点 H， 由 AD∥BC，得∠MAH =∠ABC = 60°， 在 Rt△AMH 中，MH = AM·sin60° = 4×sin60° = 2 3 ， ∴点 M 到 AD 的距离为 2 ． 易求 AH=2，则 DH=6＋2=8．在 Rt△DMH 中，tan∠MDH= 4 3 8 32 DH MH ， 由①知，∠MDH=∠ABN= ． 故 tan = 4 3 （2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形 ABCD 是正方形 此时，∠CAD=45°． 下面分三种情形： C B M A N D H 1 2 C M B N A D 1 2 3 4 - 14 - Ⅰ）若 ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°． 此时，点 M 恰好与点 B 重合，得 x=6； Ⅱ）若 DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点 M 恰好与点 C 重合，得 x=12； Ⅲ）若 AN=AD=6，则∠1=∠2， 由 AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，从而 CM=CN， 易求 AC=6 2 ，∴CM=CN=AC－AN=6 2 －6， 故 x = 12－CM=12－（6 －6）=18－6 综上所述：当 x = 6 或 12 或 18－6 时，△ADN 是等腰三角形