高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程学案新人教A版选修4-41 7页

三 直线的参数方程 1．掌握直线的参数方程及参数的几何意义． 2．能用直线的参数方程解决简单问题． 1．直线的参数方程的标准形式 过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠π 2 )的直线 l 的普通方程为 y－y0＝(x－x0)tan α，它的参数方程为____________，这种形式称为直线参数方程的标准形式． 其中参数 t 的几何意义是：________________，即|M0M|＝|t|. 若______，则 0M M  的方向向上； 若______，则 0M M  的方向向下； 若______，则 M 与 M0 重合． 【做一做 1－1】 直线 x＝－2－ 2t， y＝3＋ 2t (t 为参数)上与点 P(－2,3)的距离等于 2的 点的坐标是( )． A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1) 【做一做 1－2】 参数方程 x＝t＋1 t ， y＝2 (t 是参数)表示的曲线是( )． A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线 2．根据直线的参数方程判断直线的倾斜角 根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式， 根据方程就可以判断出倾斜角，例如 x＝2＋tcos 20°， y＝－4＋tsin 20° (t 为参数)，可以直接判断出直 线的倾斜角是 20°.如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了，例如判断直线 x＝tsin 20°＋3， y＝－tcos 20° (t 为参数)的倾斜角，有两种方法： 第一种方法：化为普通方程，求倾斜角． 把参数方程改写成 x－3＝tsin 20°， －y＝tcos 20°， 消去 t，有 y＝－ x－3 tan 20° ， 即 y＝(x－3)tan 110°，所以直线的倾斜角为 110°. 第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程 x＝3＋ －t cos 110°， y＝ －t sin 110°. 令－t ＝t′，则 x＝3＋t′cos 110°， y＝t′sin 110°， 所以直线的倾斜角为 110°. 【做一做 2－1】 直线 x＝－2＋tcos 60°， y＝3＋tsin 60° (t 为参数)的倾斜角α等于( )． A．30° B．60° C．－45° D．135° 【做一做 2－2】 过点(5，－4)，倾斜角α满足 tan α＝－4 5 的直线 l 的参数方程是 ( )． A. x＝5＋5t， y＝－4－9t (t 为参数) B. x＝5－5t， y＝－4＋4t (t 为参数) C. x＝5＋5t， y＝－4＋4t (t 为参数) D. x＝5－5t， y＝－4－4t (t 为参数) 3．直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法 给出直线的非标准式参数方程 x＝x0＋at， y＝y0＋bt (t 为参数)，根据标准式的特点，参数 t 的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质知其平方和为 1，所以可以化 为 x＝x0＋ a a2＋b2 × a2＋b2t， y＝y0＋ b a2＋b2 × a2＋b2t (t 为参数)，再进一步令 cos α＝ a a2＋b2 ，sin α＝ b a2＋b2 ，根据直线倾斜角的范围让α在[0，π)范围内取值，并且把 a2＋b2t 看成相应的参 数 t′，即得标准式的参数方程 x＝x0＋t′cos α， y＝y0＋t′sin α (t′为参数)． 由转化的过程可以看出，在一般参数方程 x＝x0＋at， y＝y0＋bt (t 为参数)中， a2＋b2t 具有 标准式参数方程中参数的几何意义．所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式，而直 接求出相应的 t，再乘 a2＋b2即可继续使用标准形式中参数的几何意义． 【做一做 3】 写出直线 2x－y＋1＝0 的参数方程的标准形式，并求直线上的点 M(1,3) 到点 A(3,7)，B(8,6)的距离． 答案：1. x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t 为参数) |t|是直线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0) 的距离 t＞0 t＜0 t＝0 【做一做 1－1】 C 【做一做 1－2】 D y＝2 表示一条平行于 x 轴的直线． ①当 t＞0 时 x＝t＋1 t ≥2 t·1 t ＝2； ②当 t＜0 时 x＝t＋1 t ≤－2 t·1 t ＝－2， 即 x≥2 或 x≤－2，所以表示两条射线． 【做一做 2－1】 B 【做一做 2－2】 B 【做一做 3】 解：根据直线的普通方程可知斜率是 2，设直线的倾斜角为α，则 tan α＝2，sin α＝2 5 5 ，cos α＝ 5 5 ，所以直线的参数方程是 x＝1＋ 5 5 t， y＝3＋2 5 5 t (t 为参数)．经 验证易知，点 A(3，7)恰好在直线上，所以由 1＋ 5 5 t＝3 得 t＝2 5，即点 M 到点 A 的距离 是 2 5.而点 B(8,6)不在直线上，所以不能使用参数 t 的几何意义，根据两点之间的距离公 式得 1－8 2＋ 3－6 2＝ 58. 综上，点 M(1,3)到点 A(3,7)的距离为 2 5，到点 B(8,6)的距离为 58. 1．直线的参数方程 剖析：首先，参数 t 可以理解为直线 l 上有向线段M0M→的数量．参数 t 的几何意义可以 与数轴上点 A 的坐标 a 的意义作类比，即 a＝±|OA|，当 A 在 O 的右侧时取“＋”；当 A 在 O 的左侧时取“－”，所以，数轴上点 A 的坐标就是有向线段OA→的数量．同样，当点 M 在 M0 的上方时，t＞0；当点 M 在 M0 的下方时，t＜0；当点 M 与点 M0 重合时，t＝0. 其次，如果把直线的普通方程 y－y0＝tan α(x－x0)写为 y－y0 sin α ＝ x－x0 cos α ，令上述比例 式的比值为 t，即 y－y0 sin α ＝ x－x0 cos α ＝t，由此即得直线的参数方程． 另外，在得到直线的参数方程后，应当注意α，x0，y0 都是常数，t 是参数． 2．直线的参数方程的其他形式 剖析：对于同一直线的普通方程选取的参数不同，会得到不同的参数方程．例如，对于 直线普通方程 y＝2x＋1，如果令 x＝t，可得到参数方程 x＝t， y＝2t＋1 (t 为参数)；如果令 x ＝t 2 ，可得到参数方程 x＝t 2 ， y＝t＋1 (t 为参数)．这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意 义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算．例如，动点 M 做匀速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，点 M 从 A 点(1,1)开始运动，求点 M 的轨迹的参数方程．点 M 的轨迹的参数方程可以直接写为 x＝1＋9t， y＝1＋12t (t 为参数)． 3．根据直线的参数方程，判断直线的平行和垂直 剖析：对于直线参数方程的标准形式，容易看出直线的倾斜角及斜率，直接根据倾斜角 或斜率关系来判断直线的平行和垂直． 如果直线的参数方程是一般形式，例如：直线 l1 的方程为 x＝x1＋a1t， y＝y1＋b1t (t 为参数)， 直线 l2 的方程为 x＝x2＋a2t， y＝y2＋b2t (t 为参数)．若 l1 与 l2 平行时，它们的斜率存在的话应是 相等的，即b1 a1 ＝b2 a2 ⇒a1b2－a2b1＝0；斜率不存在时有 a1＝a2＝0，则必有 l1∥l2.故得到一般性 结论：不重合的两条直线 l1 与 l2 平行时，有 a1b2－a2b1＝0，反之也成立，即不重合的直线 l1∥l2⇔a1b2－a2b1＝0.若 l1 与 l2 垂直，斜率存在时有b1 a1 ·b2 a2 ＝－1⇒a1a2＋b1b2＝0，易知斜率 不存在时，直线 l1 与 l2 的系数也满足 a1a2＋b1b2＝0.故直线 l1⊥l2⇔a1a2＋b1b2＝0. 题型一 求经过点 P(x0，y0)，倾斜角是α的直线的参数方程 【例 1】 已知直线 l 过点 P(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°. (1)写出直线 l 的参数方程； (2)求直线 l 与直线 x－y＋1＝0 的交点． 分析：根据直线过点(3,4)及直线的倾斜角θ＝120°，得该直线的参数方程，然后与 x －y＋1＝0 联立可求得交点． 反思：由直线上一定点和直线的倾斜角，可确定直线的方程． 题型二 求经过两个定点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)(其中 x1≠x2)的直线的参数方程 【例 2】 已知两点 A(1,3)，B(3,1)和直线 l：y＝x，求过点 A，B 的直线的参数方程， 并求它与直线 l 的交点 M 分 AB 的比． 分析：由已知直线过两定点，代入公式 x＝x1＋λx2 1＋λ ， y＝y1＋λy2 1＋λ (λ为参数，λ≠－1)，可 得直线的参数方程，然后再求与直线 y＝x 的交点． 题型三 直线的参数方程的应用 【例 3】 已知直线 l 过定点 P(3,2)且与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，求 |PA|·|PB|的值为最小时的直线 l 的方程． 分析：本题可用直线的普通方程求解，但运算较麻烦，如果用直线的参数方程来解就可 以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算． 题型四 易错辨析 【例 4】 已知过点 M(2，－1)的直线 l： x＝2－t 2 ， y＝－1＋t 2 (t 为参数)，与圆 x2＋y2＝4 交于 A，B 两点，求|AB|及|AM|·|BM|. 错解：把直线方程代入圆的方程，化简得 t2－6t＋2＝0.设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，那么 t1＋t2＝6，t1·t2＝2，由于|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，从而|MA|·|MB|＝|t1·t2| ＝2，|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t2 2－4t1t2＝ 62－4×2＝2 7. 答案：【例 1】 解：(1)直线 l 的参数方程为 x＝3＋tcos 120°， y＝4＋tsin 120° (t 为参数)， 即 x＝3－1 2 t， y＝4＋ 3 2 t (t 为参数)． (2)把 x＝3－1 2 t， y＝4＋ 3 2 t 代入 x－y＋1＝0， 得 3－1 2 t－4－ 3 2 t＋1＝0，解得 t＝0. 把 t＝0 代入 x＝3－1 2 t， y＝4＋ 3 2 t， 得两直线的交点为(3,4)． 【例 2】 解：设直线 AB 上一动点 P(x，y)，选取参数λ＝AP PB ，则直线 AB 的参数方程 为 x＝1＋3λ 1＋λ ， y＝3＋λ 1＋λ (λ为参数)．① 把①代入 y＝x，得1＋3λ 1＋λ ＝3＋λ 1＋λ ，解得λ＝1，所以 M 分 AB 的比：AM MB ＝1. 【例 3】 解：设直线的倾斜角为α，则它的方程为 x＝3＋tcos α， y＝2＋tsin α (t 为参数)．由 A，B 是坐标轴上的点知 yA＝0，xB＝0，∴0＝2＋tsin α，即|PA|＝|t|＝ 2 sin α ，0＝3＋tcos α，即|PB|＝|t|＝－ 3 cos α ，故|PA|·|PB|＝ 2 sin α ·(－ 3 cos α )＝－ 12 sin 2α . ∵90°＜α＜180°， ∴当 2α＝270°，即α＝135°时，|PA|·|PB|有最小值． ∴直线方程为 x＝3－ 2 2 t， y＝2＋ 2 2 t (t 为参数)，化为普通方程为 x＋y－5＝0. 【例 4】 错因分析：直线 l 的方程中，参数 t 的意义与直线参数方程的标准形式中 参数 t 的意义是不同的，后者是有向线段MP→的数量，而前者则不同，错解中把两者等同起来， 错用了参数的几何意义． 正解：l 的参数方程为 x＝2－ 2 2 t 2 ， y＝－1＋ 2 2 t 2 (t 为参数)． 令 t′＝ t 2 ，则有 x＝2－ 2 2 t′， y＝－1＋ 2 2 t′ (t′是参数)． 其中 t′是点 M(2，－1)到直线 l 上的一点 P(x，y)的有向线段的数量，代入圆的方程 x2＋y2＝4，化简得 t′2－3 2t′＋1＝0.∵Δ＞0，可设 t1′，t2′是方程的两根，由根与系 数关系得 t1′＋t2′＝3 2，t1′t2′＝1.由参数 t′的几何意义得|MA|＝|t1′|，|MB|＝ |t2′| ， ∴ |MA|·|MB| ＝ |t1′·t2′| ＝ 1 ， |AB| ＝ |t1′ － t2′| ＝ t1′＋t2′ 2－4t1′t2′＝ 14. 1 直线 2 cos50 , 3 sin 40 x t y t         (t 为参数)的倾斜角α等于( )． A．40° B．50° C．－45° D．135° 2 若 0 0 3 , 4 x x y y        (λ为参数)与 0 0 cos , sin x x t y y t        (t 为参数)表示同一条直线，则λ与 t 的关系是( )． A．λ＝5t B．λ＝－5t C．t＝5λ D．t＝－5λ 3 直线 12 ,2 112 x t y t       (t 为参数)被圆 x2＋y2＝4 截得的弦长为( )． A. 14 B. 13 C． 2 3 D．3 4 已知 P1，P2 是直线 11 ,2 32 2 x t y t        (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为 t1， t2，则线段 P1P2 的中点到点 P(1，－2)的距离是( )． A. 1 2 2 t t B. 1 2 2 t t C. 1 2 2 t t D. 2 2 tl t 5 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1,1)在直线 l 上，写出直线 l 的参数方程， 并求点 P 到点 M(5,4)和点 N(－2,6)的距离． 答案：1．D 根据 tan α＝ sin 40 cos50    ＝－1，因此倾斜角为 135°. 2．C 由 x－x0，得－3λ＝tcos α，由 y－y0，得 4λ＝tsin α，消去α的三角函数， 得 25λ2＝t2，得 t＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除 t＝－5λ，所以 t＝5λ. 3．A 直线为 x＋y－1＝0，圆心到直线的距离 d＝ 1 2 22  ，所以弦长的一半为 2 22 142 2 2       ，即弦长为 14 . 4．B 由 t 的几何意义可知，P1P2 的中点对应的参数为 1 2 2 t t ，P 对应的参数为 t＝0， ∴它到点 P 的距离为 1 2 2 t t . 5．解：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 3 4 ，设直线的倾斜角为α， 则 tan α＝ 3 4 ，sin α＝ 3 5 ，cos α＝ 4 5 . 又点 P(1,1)在直线 l 上． 所以直线 l 的参数方程为 41 ,5 31 5 x t y t       (t 为参数)． 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上．由 1＋ 4 5 t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因 为 点 N 不 在 直 线 l 上 ， 故 根 据 两 点 之 间 的 距 离 公 式 ， 可 得 |PN| ＝ 2 2(1 2) (1 6) 34    .